量子力学Ⅰ/水素原子/メモ のバックアップソース(No.4)
更新[[量子力学Ⅰ/水素原子]] #mathjax * $\chi$ に関する方程式 [#k100457f] &math(\frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi-\frac{1}{n^2}\chi=0); &math(\chi=X(\rho)e^{-\rho/n}); と置けば、 &math( \frac{\PD^2}{\PD\rho^2}X(\rho)e^{-\rho/n} &=\frac{\PD}{\PD\rho}X'(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{1}{n}\frac{\PD}{\PD\rho}X(\rho)e^{-\rho/n}\\ &=X''(\rho)e^{-\rho/n}-\frac{2}{n}X'(\rho)e^{-\rho/n}+\frac{1}{n^2}X(\rho)e^{-\rho/n}\\ ); を使って、 &math( X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\cancel{\frac{1}{n^2}X(\rho)} +\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)-\cancel{\frac{1}{n^2} X(\rho)}=0 ); &math( X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0 ); &math(X(\rho)=\sum_{i=0}^\infty c_k\rho^k); と置けば、 &math( &X''(\rho)-\frac{2}{n}X'(\rho)+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}X(\rho)=0\\ ); &math( &\sum_{i=0}^\infty k(k-1)c_k\rho^{k-2}-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty kc_k\rho^{k-1} +\sum_{i=0}^\infty 2c_k\rho^{k-1}-\sum_{i=0}^\infty l(l+1)c_k\rho^{k-2}=0\\ ); &math( &\sum_{i=0}^\infty (k+2)(k+1)c_{k+2}\rho^k-\frac{2}{n}\sum_{i=0}^\infty (k+1)c_{k+1}\rho^k +\sum_{i=-1}^\infty 2c_{k+1}\rho^k-\sum_{i=-2}^\infty l(l+1)c_{k+2}\rho^{k}=0\\ ); &math( -l(l+1)&c_0\rho^{-2}+\{-l(l+1)c_{1}+2c_0\}\rho^{-1}+\\ &\sum_{i=0}^\infty \big[\big\{(k+1)(k+2)-l(l+1)\big\}c_{k+2} +2\big\{-(k+1)/n+1\big\}c_{k+1}\big]\rho^k=0\\ ); すなわち、 &math( \left\{ \begin{array}{ll} l(l+1)c_0=0\\[1mm] l(l+1)c_{1}=2c_0\\[1mm] n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}c_{k+1}=-2(n-k)c_{k}&\ \ (k\ge 1) \end{array} \right. ); 第3式は &math(k); の大きいところでは近似的に &math(c_{k+1}=\frac{2}{nk}c_{k}); を表わし、これは &math(\exp(2x/n)); をマクローリン展開したときの係数と同じであるから、 &math(k\to\infty); で &math(c_k\ne 0); であれば &math(\rho\to \infty); で &math(\chi); は発散してしまう。つまり、&math(c_k); は有限の &math(k); で打ち切られなければならない。 &math(l=0); の場合には、 第2式より &math(c_0=0);~ 第3式より &math(c_{k+1}=-\frac{2(n-k)}{nk(k+1)}c_{k}\ \ (k\ge 1)); ある &math(k>n); に対して &math(c_k\ne 0); であれば、それより大きな任意の &math(k); で &math(c_k\ne 0); となってしまうから、&math(k>n); では &math(c_k=0); でなければならない。 このとき、&math(c_1); の値を決定すれば &math(0<k\le n); 漸化式を使ってすべての &math(c_k); を決定できる。 &math(l\ge 1); の場合には、 第1式より &math(c_0=0);~ 第2式より &math(c_1=0);~ 第3式より &math(c_k=0); &math((k<l)); &math(l=0); の時と同様に、&math(k>n); に対しては &math(c_k=0); でなければならないから、 &math(n>l); でなければすべての &math(c_k); がゼロになってしまう。 &math(n>l); が成り立つ場合には、&math(c_{l+1}); を決めれば、 第3式より &math(l<k\le n); に対して &math(c_k); がすべて決まる。 まとめると、 - &math(n); は &math(l<n); を満たす整数でなければならない - &math(c_k); は &math(l+1\le k\le n); の範囲のみ値を持つ - &math(c_k); の漸化式は &math(c_{k+1}=-\frac{2(n-k)}{n\big\{k(k+1)-l(l+1)\big\}}c_{k}); 具体的には、 &math(n=1); のとき、 &math(l=0); であれば &math(\chi_{1s}(\rho)=c_1\rho e^{-\rho}); &math(n=2); のとき、 &math(l=0); であれば &math(\chi_{2s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{1}{2}\rho^2 \right]e^{-\rho/2}); &math(l=1); であれば &math(\chi_{2p}(\rho)=c_2\rho^2e^{-\rho/2}); &math(n=3); のとき、 &math(l=0); であれば &math(\chi_{3s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{2}{3}\rho^2+\frac{2}{27}\rho^3 \right]e^{-\rho/3}); &math(l=1); であれば &math(\chi_{3p}(\rho)=c_2\left[\rho^2-\frac{1}{6}\rho^3 \right]e^{-\rho/3}); &math(l=2); であれば &math(\chi_{3d}(\rho)=c_3\rho^3e^{-\rho/3}); &math(n=4); のとき、 &math(l=0); であれば &math(\chi_{4s}(\rho)=c_1\left[\rho-\frac{3}{4}\rho^2+\frac{1}{8}\rho^3-\frac{1}{192}\rho^4 \right]e^{-\rho/4}); &math(l=1); であれば &math(\chi_{4p}(\rho)=c_2\left[\rho^2-\frac{1}{4}\rho^3+\frac{1}{80} \right]e^{-\rho/4}); &math(l=2); であれば &math(\chi_{4d}(\rho)=c_3\left[\rho^3-\frac{1}{12}\rho^3 \right]e^{-\rho/4}); &math(l=3); であれば &math(\chi_{4f}(\rho)=c_4\rho^4e^{-\rho/4}); * グラフ [#s627ad55] L. I. Schiff の教科書(1991年第18刷)ではラゲールの陪多項式の添え字が間違っていた? LANG:mathematica R[n_,l_,r_] := Sqrt[(2/n)^3 (n-l-1)!/(2n((n+l)!)^3)] Exp[-r/n] (2r/n)^l LaguerreL[n-l-1,2l+1,2r/n] Table[ Plot[ Table[ R[n, l, r]^2 / NMaximize[{R[n,l,rr]^2,100>rr>=1},rr, MaxIterations->1000], {l, 0, n-1} ] // Evaluate, {r, 0, 30}, ImageSize->Large, AspectRatio->0.2, PlotRange->{0,1}, Filling->Axis, PlotStyle->Thick, BaseStyle->20 ], {n, 1, 4} ] // GraphicsColumn[#, ImageSize->1280] & Export["Hydrogen.png", %]
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