量子力学Ⅰ/波動関数の解釈 のバックアップ(No.3)

話の進み方が奇妙？ †

近代の物理学ではこのように、「正しそうな方程式が先に求まって、後からその意味するところを考える」 という手順を踏むことがしばしばある。

これまで学んできた古典的な物理ではありえないスタンスで、始めは戸惑うかもしれない。 これまでであれば直感的に納得のいく方程式が基礎方程式となっていたから、それを学ぶことに疑問はなかった。 量子力学のように極限的な状況でのみその真価が現れるようなつ物理学を進める場合、 そういった状況に置ける物理現象に対して我々の直感の働かないため、 直感を廃したこういうややこしい手順を踏むしかない、と考えて納得して欲しい。 実際、量子力学が役に立つような分野では、我々の直感とはかけ離れたような物理現象がしばしば観測される。

1. 観測された物理現象を説明できそうで、かつ論理的に矛盾のない基礎方程式を適当にでっち上げる
2. その方程式から何が予測されるかを考えて、新たな測定結果と突き合わせる
3. 矛盾が生じれば理論に修正が必要となる
4. 矛盾無く測定結果を説明できている限り、それが正しい理論である

このような意味で現在受け入れられているのが、 先に 求めた でっち上げた シュレーディンガー方程式である。

確率密度関数の定義 †

「確率変数 が確率密度関数 に従う」という意味は、

測定毎に異なる値を取る変数 があり、１回測定したときに が の範囲に入る確率を

　

として求められる、ということである。

上図で分かるとおり、上式の右辺の積分は と 軸に挟まれる部分の面積に相当するため、 が大きいことは がその付近の値を取りやすいことを表わしており、 が小さければ はその付近の値を滅多に取らない。

当然、すべての に対して であり、 また、測定を行えば必ず何らかの値が得られることから、 を全範囲にわたって積分した値は常に１になる。

　

期待値 †

確率変数 の測定を仮想的に無限回行った場合に得られる平均値を の期待値という。

例えば、サイコロを１回振った際に出る目の期待値は、

　

のように、サイコロの目の値に、個々の目の出る確率を掛けて得られる。

すなわち、離散的な値を取る確率変数 の期待値 は、

　

として与えられる。ここで は となる確率である。

いま考えている が連続値を取る場合にも、これと同様に

　

により期待値が求まる。測定値が範囲 に入る確率を と表せることに注意せよ。

標準偏差 †

標準偏差は確率変数 がその期待値からどれほど大きなバラツキを持つかを表わす指標である。

統計学的には、 回の測定値 の標準偏差は、

　

として定義される。

これに対して確率変数 を仮想的に無限回観測した際の標準偏差の期待値は

　

として求められる。これを確率密度関数 の標準偏差という。

任意の関数の期待値 †

標準偏差の場合と同様に、確率変数 の関数として表わされる任意の値 の期待値を、

　

として求められる。 が線型である場合を除き、

　

であることに注意せよ。

波動関数の規格化 †

シュレーディンガー方程式は線型な方程式だから、 ある関数 が解であれば、 任意の定数 に対して も解である。

一方、波動関数が確率密度関数となるためには、

　

でなければならない。

任意のシュレーディンガー方程式の解 に対して、

　

として、確率密度関数を得る手順を波動関数の規格化と呼ぶ。

全確率の保存 †

ある時刻において規格化した波動関数がシュレーディンガー方程式に従って時間発展する時、 確率密度が増えたり減ったりしてはおかしなことになる。この点を確認しよう。

　&math( \frac{\PD}{\PD t}\int|\psi(\bm x,t)|^2\,d^3x &=\int\psi^*\frac{\PD\psi}{\PD t}+\frac{\PD\psi^*}{\PD t}\psi\,d^3x\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\int\psi^*(\nabla^2\psi)-(\nabla^2\psi^*)\psi\,d^3x\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\int\bm \nabla\cdot[\psi^*(\bm \nabla\psi)-(\bm \nabla\psi^*)\psi]\,d^3x\\ &=\frac{i\hbar}{2m}\int_S[\psi^*(\bm \nabla\psi)-(\bm \nabla\psi^*)\psi]\cdot \bm n\,dS\\ );

最後の等式はガウスの定理を用いて体積積分を面積積分に直した。 ここでは積分範囲を無限大に取っているためその表面というのは考えづらいが、 が有限範囲内のみゼロでない値を取る場合を想定し、 それより大きな範囲を取っていると考えればよい。

そのような場合、表面 上で積分内の関数はゼロになるため、

　

シュレーディンガー方程式に従った時間発展では確率密度が保存されることが分かった。

確率密度の流れ †

上記の計算において を有限に取れば、 右辺の積分は領域外から領域内へ入ってくる確率密度であると解釈できる。*1ピンと来なければ電磁気学で学んだ電荷の保存則の部分を復習せよ すなわち、積分内の符号を反転した

　&math( \bm S(\bm x,t)&=-\frac{i\hbar}{2m}[\psi^*(\bm \nabla\psi)-(\bm \nabla\psi^*)\psi]);

あるいはこれを変形して、

　&math( \bm S(\bm x,t)&=\frac{\hbar}{2mi}[\psi^*(\bm \nabla\psi)-\{\psi^*(\bm \nabla\psi)\}^*]\\ &=\frac{\hbar}{2mi}\cdot 2\,\mathrm{Im}\Big[\psi^*(\bm \nabla\psi)\Big]\\ &=\mathrm{Re}\Big[\psi^*\frac{\hbar\bm \nabla}{mi}\psi\Big]\\ );

が局所的な確率密度の流れを表わす（単位面積当たり、単位時間当たりの流量）。

多数の電子が同じ波動関数に従って移動しているような場合には、 この に素電荷 を掛けた物が電流密度になるなど、 物理的な意味も大きい。

座標について †

時刻 において電子が に見出される確率が 波動関数 によって により表わされるとすれば、 この電子の位置の 座標の期待値 は

　

として求められる。

二重スリットの実験のように電子の存在確率が広範囲に広がってしまっている場合には この期待値にあまり意味はない。一方、ポテンシャルにより束縛された電子や、 波束として空間中を飛ぶ電子ではこれがそのまま電子の位置の時間変化を表わすことになる。

もちろんその場合にも波動関数は広がりを持つから、任意の時刻の波動関数の広がりを評価するために 座標の標準偏差の期待値を求めるようなことも意味を持つ。

　

このように一旦波動関数が求まれば、座標 の関数 として表わされる任意の関数について、

　

としてその期待値を求めることが可能である。

運動量について †

量子力学によれば電子の位置が確率的にしか決定されないのと同様に、 その運動量も確率的にしか決定されない。

波動関数は位置の確率密度関数を与えるが、 運動量の確率密度関数はどのようなものになるだろうか？

シュレーディンガー方程式をでっち上げた際に、平面波に対して および が成り立つことを利用した。

実は平面波でない場合にも、運動量 の期待値を、

　&math( \overline{\bm p}(t)=\int \psi(\bm x,t)^* (\hbar\bm \nabla/i) \psi(\bm x,t)\,d^3x );

として求めることができる（こうして求めると実験と合う）。 左から がかかっているのは、 であることに対応している。

同様に、 の関数で与えられる任意の物性値 の期待値は、 の中の を で置き換えた演算子 を作り、

　&math( \overline{g(\bm p)}=\int \psi(\bm x,t)^* \hat g(\hbar\nabla/i) \psi(\bm x,t)\,d^3x );

とすれば求められる。

一般の場合 †

解析力学の授業において、１つの粒子の運動は座標と運動量によって完全に記述されることを学んだ。

すなわち電子の運動を表わす任意の物性値は座標と運動量の関数として の形に書ける。波動関数からこのような物性値の期待値を求めるには、 を で置き換えた演算子 を作り、

　&math( \overline{g(\bm x,\bm p)}=\int \psi(\bm x,t)^* \hat g(\bm x,-i\hbar\nabla) \psi(\bm x,t)\,d^3x );

とすればよい。

このようにして求めた の期待値が実数になることはそれほど自明ではない。 後に任意の物理量を表わす演算子がエルミートになることを使って期待値が実数になることを理解する。

確率密度の流れ（再） †

は運動量を表わす演算子であり、 はそれを質量 で割った物であるから、 よりこれは速度を表わす演算子となる。すなわち、確率密度の流れを

　&math( \bm S(\bm x,t)&=\mathrm{Re}\Big[\psi^*\hat{\bm v}\psi\Big]\\ );

と書いておくと覚えやすい。

不確定性原理 †

量子力学の重要な帰結として「不確定性原理」がある。 不確定性原理は例えば、 と が同時に正確に定まるような状態は存在しない、という形で言い表せる。以下、この項では と書き、一次元で考える。

上記を数学的に表わせば、 に最小値があり、ある一定値以下にはならない、ということになる。

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 =\sigma_x^2\sigma_p^2=\big\langle (x-\langle x\rangle)^2\big\rangle \big\langle (p-\langle p\rangle)^2\big\rangle );

演算子 、 を導入すると、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int \psi^*\alpha^2\psi\,dx\int \psi^*\beta^2\psi\,dx );

ここで より、

　&math( \sigma_x^2=\int (\alpha\psi)^*(\alpha\psi)\,dx );

についても、

　&math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx &=\int \psi^*\left[-i\hbar\frac{d}{dx}-\langle p\rangle\right]^2\psi\,dx\\ &=\int

• \hbar^2\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}

1. 2i\hbar\psi^*\langle p\rangle\frac{d\psi}{dx}
2. \langle p\rangle|\psi|^2\,dx\\ );

であり、

　&math( \int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx &=\int \left[+i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}-\langle p\rangle\psi^*\right]

      \left[-i\hbar\frac{d\psi  }{dx}-\langle p\rangle\psi  \right]\,dx\\

&=\int \hbar^2\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi }{dx}

• i\hbar\frac{d\psi^*}{dx}\langle p\rangle\psi

1. i\hbar\langle p\rangle\psi^*\frac{d\psi }{dx}
2. \langle p\rangle^2|\psi|^2 \,dx\\ );

部分積分により、

　&math( \int\psi^*\frac{d^2\psi}{dx^2}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx}\,dx

 +\underbrace{\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}

);

　&math( \int\psi^*\frac{d\psi}{dx}\,dx = -\int\frac{d\psi^*}{dx}\psi\,dx

 +\underbrace{\Big[\psi^*\psi\Big]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}

);

であるから、

　&math( \int \psi^*\beta^2\psi\,dx=\int (\beta\psi)^*(\beta\psi)\,dx );

と書ける。すなわち、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2=\int |\alpha\psi|^2\,dx\int |\beta\psi|^2\,dx );

一般の について、

　&math( \int\Bigg|f-g\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\Bigg|^2dx\ge 0 );

は積分の中が常に非負であるから必ず成立する。 等号はある定数 に対して の全範囲において となる場合のみ成り立つ。

　&math( \int|f|^2\,dx

• \int f^*g\,dx\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}
• \int fg^*\,dx\frac{\int f^*gdx}{\int|g|^2dx}

1. \int|g|^2\,dx\left(\frac{\int fg^*dx}{\int|g|^2dx}\right)^2 \ge 0 );

両辺に を掛けて、

　&math( \int|f|^2dx\int|g|^2dx

• \int f^*g\,dx\int fg^*dx \underbrace{-\int fg^*dx\int f^*g\,dx

1. \left(\int fg^*dx\right)^2}_{=0} \ge 0 );

したがって、

　

を得る。 、 とすれば、

　&math( (\sigma_x\cdot\sigma_p)^2 &\ge\left|\int (\alpha\psi)^*\beta\psi\,dx\right|^2\\ &=\left|\int \psi^*\alpha\beta\psi\,dx\right|^2 );

となる。ここで、 を用いた。 右辺は、