量子力学Ⅰ/物理量の固有関数 のバックアップ差分(No.2)
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[[量子力学Ⅰ]] * その他のハミルトニアン [#a2d917ec] #contents ** 演習:箱の中の自由粒子に対するハミルトニアン [#nc8789b3] * 概要 [#hb80fac0] *** 実数関数のフーリエ級数展開 [#k71a2cec] いくつかの物理量演算子の固有関数は量子力学的にも、数学的にも非常に重要な物となる。 ** 自由粒子 [#t51d2065] * ハミルトニアン [#a2d917ec] ** 有限の井戸型ポテンシャル [#be673606] ** 演習:箱の中の自由粒子 = 実フーリエ級数 [#nc8789b3] ** 調和振動子 [#wde5a7d9] 箱の中の自由粒子に対して、ハミルトニアンの固有関数は正弦波となることを見た。 * 運動量 [#p51bf984] &math(\varphi_n(\bm r)=\sqrt\frac{2}{\,a\,}\sin(n\pi x/a)); ただし &math(n=1,2,3,\dots); ** フーリエ変換 [#g7f98e1d] この関数系は &math(\varphi(0)=\varphi(a)=0); という境界条件の下で正規直交完全系を為す。 ** フーリエ級数展開 [#d1bda9c9] (1) &math(n\ne m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=0); を示せ。 * 位置 [#g456c3f6] (2) &math(n = m); のとき、&math(\int_0^a\varphi_n^*(x)\varphi_m(x)dx=1); を示せ。 ** ディラックのデルタ関数 [#y754227f] (3) 以下、&math(a=1); とする。 * 角運動量 [#b69ff060] &math(f(x)=\begin{cases} x&(0<x<1/2)\\ x-1&(1/2<x<1) \end{cases}); ** 球面調和関数 [#yf2e5c26] を &math(f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x)); の形に展開した際の係数 &math(c_n); を求めよ。 *** 解説 [#mee554f5] (3) の関数は下図で Target として示したように &math(x=1/2); に不連続点を持つが、 このような関数に対しても上記の無限級数は収束する。 この様子を見るために、展開係数を &math(n=4,16,64,256); までで打ち切った場合の関数形を同じグラフに重ねて示した。 &attachref(sinusoidal-expansion.png,,66%); ** 完全な自由粒子 = 複素フーリエ変換 [#t51d2065] 運動量の固有関数と同じになる。 * 運動量 = 複素フーリエ変換 [#p51bf984] * 位置 = ディラックのデルタ関数 [#g456c3f6] * 角運動量 = 球面調和関数 [#b69ff060] * 質問・コメント [#f67750b8] #article_kcaptcha
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