球対称井戸型ポテンシャル のバックアップ(No.1)

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量子力学Ⅰ

球形の箱の中の粒子 †

　&math( V(r)=\begin{cases} 0&(r<=a)\\ V_0&(r>a)\\ \end{cases} );

の場合には、 \chi(r)=rR(r) を考えるよりも R(r) をそのまま扱った方が都合がよい。

　 \rho=\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}r}

と置くことにより、箱の内部の方程式は

　&math( \frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 );

となる。この解は球ベッセル関数 j_l(\rho) と呼ばれる。

　 \rho_0(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho}

　 \rho_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho}

　 \rho_2(\rho)=\left(\frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3}{\rho^2}\cos\rho

　...

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