球対称井戸型ポテンシャル のバックアップ差分(No.1)

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[[量子力学Ⅰ]]

* 球形の箱の中の粒子 [#h9e0cd19]

　&math(
V(r)=\begin{cases}
0&(r<=a)\\
V_0&(r>a)\\
\end{cases}
);

の場合には、&math(\chi(r)=rR(r)); を考えるよりも &math(R(r)); をそのまま扱った方が都合がよい。

　&math(\rho=\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}r});

と置くことにより、箱の内部の方程式は

　&math(
\frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0
);

となる。この解は''球ベッセル関数'' &math(j_l(\rho)); と呼ばれる。

　&math(\rho_0(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho});

　&math(\rho_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho});

　&math(\rho_2(\rho)=\left(\frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3}{\rho^2}\cos\rho);

　...
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