球対称井戸型ポテンシャル のバックアップ差分(No.2)
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[[量子力学Ⅰ]] * 球形の箱の中の粒子 [#h9e0cd19] &math( V(r)=\begin{cases} 0&(r<=a)\\ V_0&(r>a)\\ \end{cases} ); の場合には、&math(\chi(r)=rR(r)); を考えるよりも &math(R(r)); をそのまま扱った方が都合がよい。 &math(\rho=\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}r}); &math(\rho=\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}r); と置くことにより、箱の内部の方程式は &math( \frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{2}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 ); となる。この解は''球ベッセル関数'' &math(j_l(\rho)); と呼ばれる。 &math(\rho_0(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho}); &math(j_0(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho}); &math(\rho_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho}); &math(j_1(\rho)=\frac{\sin\rho}{\rho^2}-\frac{\cos\rho}{\rho}); &math(\rho_2(\rho)=\left(\frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3}{\rho^2}\cos\rho); &math(j_2(\rho)=\left(\frac{3}{\rho^3}-\frac{1}{\rho}\right)\sin\rho-\frac{3}{\rho^2}\cos\rho); ... これらは &math(\rho=0); にて有限値をとり、また分子の &math(\sin); や &math(\cos); の周期性を反映して &math(j_l(\rho)=0); となる根を無限個持つ。 1次元の箱形ポテンシャルのところで学んだのと同様に、 &math(V_0=+\infty); の場合には &math(r=a); において &math(j_l(\rho(r))=0); が要求されるから、 &math(j_l\Big(\sqrt{\frac{2m\varepsilon}{\hbar^2}}a\Big)=0); により &math(\varepsilon); が決定される。 &math(V_0); が有限の場合にも、&math(r=a); における位相が少しずれるものの、 外部の解と連続かつなめらかに接続する条件から &math(\varepsilon); が決定される。
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