球座標を用いた変数分離/メモ のバックアップ(No.6)

更新


量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離

解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離

(1)

 &math( \frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}(r\varphi) &=\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\left(r\frac{\PD}{\PD r}\varphi\right)\\ &=\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{\PD^2}{\PD r^2}\varphi\\ );

(2)

 &math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi) );

より、

 &math( \left\{

  • \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\right)+ V(r)\right\}\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi) );

(3)

\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi) を代入すれば、

 &math( &\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\ );

 &math( &\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\Big)Y(\theta,\phi)+ R(r)\hat\Lambda Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\ );

 &math( &\left\{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\right\}\frac{1}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}=l(l+1)\\ );

一行目の左辺は r のみの関数、右辺は \theta,\phi のみの関数であるから、 これらは定数でなければならない。 その定数を後を見越して l(l+1) と置いた。

R(r) について、

 &math( &r\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1)R(r)\\ &\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}\Big(\varepsilon-V(r)\Big)rR(r)=\frac{l(l+1)}{r^2}rR(r)\\ &-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r)\\ );

Y(\theta,\phi) について、

 &math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0 );

(4) \hat l^2=-\hbar^2\hat\Lambda より、

  \hat l^2Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)Y(\theta,\phi)

\hat\Lambda R(r) には作用しないので、

  \hat l^2R(r)Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)R(r)Y(\theta,\phi)

すなわち、

  \hat l^2\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)\varphi(r,\theta,\phi)

(5) L=mr^2\omega であるが、 L が一定の運動においてこれは \omega r の関数となることを示している。すなわち、

  \omega(r)=\frac{L}{mr^2}

\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega(r)^2=-\frac{L^2}{mr^3} を積分すれば、

  V_c(r)=\frac{L^2}{2mr^2}

ただし無限遠におけるポテンシャルをゼロとした。 V_c(\infty)=0

一方、(3) で得た方程式に現れる項は、 Y(\theta,\phi) に対して \hat l^2=\hbar^2l(l+1) より、

  V_c(r)=\frac{\hat l^2}{2mr^2}

と書ける。

L が一定で、 \omega r の関数となる条件を忘れて \frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2 を形式的に積分すると符号が変わり、 V_c(r)=-mr^2\omega^2/2 となってしまうため注意せよ。

(6)

 &math( &\left\{\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right\} \Theta(\theta)\Phi(\phi)=-l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\\ &\left[\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta\right\}\Theta(\theta)\right]\frac{1}{\Theta(\theta)} =\left\{-\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\right\}\frac{1}{\Phi(\phi)}\\ &=m^2 );

2行目の左辺は \theta だけの、右辺は \phi だけの関数であるため、 定数 -m^2 と置いた。

\Theta(\theta) について、

 &math(\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0);

\Phi(\phi) について、

  \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi)

(7)

  \frac{\PD}{\PD \phi}\Phi(\phi)=im\Phi(\phi)

より、 \Phi(\phi)=\Phi(0) e^{im\phi} を得る。連続の条件

  \Phi(2\pi)=\Phi(0) e^{im\cdot 2\pi}=\Phi(0)

を与えると、

  e^{im\cdot 2\pi}=1

すなわち、 m=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots でなければならない。

(8)

\hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} より、

  \hat l_z\Phi(\phi)=\hbar m\Phi(\phi)

また、 \hat l_z R(r),\Theta(\theta) には作用しないため、

  \hat l_zR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=\hbar mR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)

  \hat l_z\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar m\varphi(r,\theta,\phi)


Counter: 6660 (from 2010/06/03), today: 1, yesterday: 1