球座標を用いた変数分離/メモ のバックアップの現在との差分(No.6)

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[[量子力学Ⅰ/球座標を用いた変数分離]]

&katex();
* 解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離 [#cabc7bba]

(1) 

 &math(
\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}(r\varphi)
&=\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\left(r\frac{\PD}{\PD r}\varphi\right)\\
&=\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{\PD^2}{\PD r^2}\varphi\\
);
$$\begin{aligned}
\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\varphi)
&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\varphi+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\varphi\right)\\
&=\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\varphi+\frac{\partial^2}{\partial r^2}\varphi\\
\end{aligned}$$

(2)

 &math(
$$\begin{aligned}
\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)
);
\end{aligned}$$

より、

 &math(
$$\begin{aligned}
\left\{
-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\right)+
{}-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\right)+
V(r)\right\}\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)
);
\end{aligned}$$

(3)

&math(\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)); を代入すれば、
$\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$ を代入すれば、

 &math(
&\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\
);
$$\begin{aligned}
&\Big(r\frac{\partial^2}{\partial r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\
\end{aligned}$$

 &math(
&\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\Big)Y(\theta,\phi)+
$$\begin{aligned}
&\Big(r\frac{\partial^2}{\partial r^2}rR(r)\Big)Y(\theta,\phi)+
R(r)\hat\Lambda Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\
);
\end{aligned}$$

 &math(
&\left\{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\right\}\frac{1}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}=l(l+1)\\
);
$$\begin{aligned}
&\left\{r\frac{\partial^2}{\partial r^2}rR(r)\right\}\frac{1}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}=l(l+1)\\
\end{aligned}$$

一行目の左辺は &math(r); のみの関数、右辺は &math(\theta,\phi); のみの関数であるから、
一行目の左辺は $r$ のみの関数、右辺は $\theta,\phi$ のみの関数であるから、
これらは定数でなければならない。
その定数を後を見越して &math(l(l+1)); と置いた。
その定数を後を見越して $l(l+1)$ と置いた。

&math(R(r)); について、
$R(r)$ について、

 &math(
$$\begin{aligned}
&r\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1)R(r)\\
&\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}\Big(\varepsilon-V(r)\Big)rR(r)=\frac{l(l+1)}{r^2}rR(r)\\
&-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r)\\
);
\end{aligned}$$

&math(Y(\theta,\phi)); について、
$Y(\theta,\phi)$ について、

 &math(
$$\begin{aligned}
\hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0
);
\end{aligned}$$

(4) &math(\hat l^2=-\hbar^2\hat\Lambda); より、
(4) $\hat l^2=-\hbar^2\hat\Lambda$ より、

 &math(\hat l^2Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)Y(\theta,\phi));
$$\begin{aligned}\hat l^2Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)Y(\theta,\phi)\end{aligned}$$

&math(\hat\Lambda); は &math(R(r)); には作用しないので、
$\hat\Lambda$ は $R(r)$ には作用しないので、

 &math(\hat l^2R(r)Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)R(r)Y(\theta,\phi));
$$\begin{aligned}\hat l^2R(r)Y(\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)R(r)Y(\theta,\phi)\end{aligned}$$

すなわち、

 &math(\hat l^2\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)\varphi(r,\theta,\phi));
$$\begin{aligned}\hat l^2\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar^2l(l+1)\varphi(r,\theta,\phi)\end{aligned}$$

(5) &math(L=mr^2\omega); であるが、&math(L); が一定の運動においてこれは &math(\omega); が &math(r); の関数となることを示している。すなわち、
(5) $L=mr^2\omega$ であるが、$L$ が一定の運動においてこれは $\omega$ が $r$ の関数となることを示している。すなわち、

 &math(\omega(r)=\frac{L}{mr^2}); 
$$\begin{aligned}\omega(r)=\frac{L}{mr^2}\end{aligned}$$ 

&math(\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega(r)^2=-\frac{L^2}{mr^3}); を積分すれば、
$\displaystyle\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega(r)^2=-\frac{L^2}{mr^3}$ を積分すれば、

 &math(V_c(r)=\frac{L^2}{2mr^2});
$$\begin{aligned}V_c(r)=\frac{L^2}{2mr^2}\end{aligned}$$

ただし無限遠におけるポテンシャルをゼロとした。&math(V_c(\infty)=0);
ただし無限遠におけるポテンシャルをゼロとした。$V_c(\infty)=0$

一方、(3) で得た方程式に現れる項は、&math(Y(\theta,\phi)); に対して &math(\hat l^2=\hbar^2l(l+1)); より、
一方、(3) で得た方程式に現れる項は、$Y(\theta,\phi)$ に対して $\hat l^2=\hbar^2l(l+1)$ より、

 &math(V_c(r)=\frac{\hat l^2}{2mr^2});
$$\begin{aligned}V_c(r)=\frac{\hat l^2}{2mr^2}\end{aligned}$$

と書ける。

&math(L); が一定で、&math(\omega); が &math(r); の関数となる条件を忘れて &math(\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2); を形式的に積分すると符号が変わり、&math(V_c(r)=-mr^2\omega^2/2); となってしまうため注意せよ。
$L$ が一定で、$\omega$ が $r$ の関数となる条件を忘れて $\frac{d}{dr}V_c(r)=-f_c=-mr\omega^2$ を形式的に積分すると符号が変わり、$V_c(r)=-mr^2\omega^2/2$ となってしまうため注意せよ。

(6)

 &math(
&\left\{\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+
\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right\}
$$\begin{aligned}
&\left\{\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)+
\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right\}
\Theta(\theta)\Phi(\phi)=-l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\\
&\left[\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+
&\left[\left\{\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)+
l(l+1)\sin^2\theta\right\}\Theta(\theta)\right]\frac{1}{\Theta(\theta)}
=\left\{-\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\right\}\frac{1}{\Phi(\phi)}\\
=\left\{-\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\Phi(\phi)\right\}\frac{1}{\Phi(\phi)}\\
&=m^2
);
\end{aligned}$$

2行目の左辺は &math(\theta); だけの、右辺は &math(\phi); だけの関数であるため、
定数 &math(-m^2); と置いた。
2行目の左辺は $\theta$ だけの、右辺は $\phi$ だけの関数であるため、
定数 $m^2$ と置いた。

&math(\Theta(\theta)); について、
$\Theta(\theta)$ について、

 &math(\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+
l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0);
$$\begin{aligned}\left\{\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\Big(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\Big)+
l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0\end{aligned}$$

&math(\Phi(\phi)); について、
$\Phi(\phi)$ について、

 &math(\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi));
$$\begin{aligned}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi)\end{aligned}$$

(7) 

 &math(\frac{\PD}{\PD \phi}\Phi(\phi)=im\Phi(\phi));
$$\begin{aligned}\frac{\partial}{\partial \phi}\Phi(\phi)=im\Phi(\phi)\end{aligned}$$

より、&math(\Phi(\phi)=\Phi(0) e^{im\phi}); を得る。連続の条件
より、$\Phi(\phi)=\Phi(0) e^{im\phi}$ を得る。連続の条件

 &math(\Phi(2\pi)=\Phi(0) e^{im\cdot 2\pi}=\Phi(0));
$$\begin{aligned}\Phi(2\pi)=\Phi(0) e^{im\cdot 2\pi}=\Phi(0)\end{aligned}$$

を与えると、

 &math(e^{im\cdot 2\pi}=1);
$$\begin{aligned}e^{im\cdot 2\pi}=1\end{aligned}$$

すなわち、&math(m=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots); でなければならない。
すなわち、$m=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$ でなければならない。

(8)

&math(\hat l_z=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}); より、
$\hat l_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}$ より、

 &math(\hat l_z\Phi(\phi)=\hbar m\Phi(\phi));
$$\begin{aligned}\hat l_z\Phi(\phi)=\hbar m\Phi(\phi)\end{aligned}$$

また、&math(\hat l_z); は &math(R(r),\Theta(\theta)); には作用しないため、
また、$\hat l_z$ は $R(r),\Theta(\theta)$ には作用しないため、

 &math(\hat l_zR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=\hbar mR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi));
$$\begin{aligned}\hat l_zR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)=\hbar mR(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\end{aligned}$$

 &math(\hat l_z\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar m\varphi(r,\theta,\phi));
$$\begin{aligned}\hat l_z\varphi(r,\theta,\phi)=\hbar m\varphi(r,\theta,\phi)\end{aligned}$$



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