球座標を用いた変数分離 のバックアップ差分(No.4)

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[[量子力学Ⅰ]]

#contents
&mathjax();

* 極座標 [#x544b994]

&math(
\begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\phi\\
y=r\sin\theta\sin\phi\\
z=r\cos\theta
\end{cases}
);


** 微分の変換 [#xba4e8e0]

&math(f); が &math(f(r,\theta,\phi)); のように球座標で表示されているとする。

&math(x); が微小量 &math(dx); だけ変化した際、
それに伴って &math(r,\theta,\phi); がそれぞれ &math(dr,d\theta,d\phi); だけ変化し、
その結果、&math(f); が &math(df); だけ変化したとする。

このとき、

 &math(df=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi);

に、&math(dr=\frac{\PD r}{\PD x}dx,\ d\theta=\frac{\PD \theta}{\PD x}dx,\ d\phi=\frac{\PD \phi}{\PD x}dx); を代入すれば、

 &math(df=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx);

一方、&math(df=\frac{\PD f}{\PD x}dx); であるから、

 &math(\frac{\PD }{\PD x}f=\Big(\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\Big)f);

したがって、

 &math(\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\
);

同様にして、

 &math(
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]
\displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]
\displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\
\end{cases}
);

のように変換される。

** 演習:偏微分の計算 [#t892cda9]

以下、全微分の時と異なり &math(\frac{\PD r}{\PD x}\ne\Big(\frac{\PD x}{\PD r}\Big)^{-1}); であることに注意せよ。

(1) &math(r^2=x^2+y^2+z^2); の関係を用いて、
&math(\frac{\PD r}{\PD x},\frac{\PD r}{\PD y},\frac{\PD r}{\PD z}); を
&math(r,\theta,\phi); で書き表せ。

(2) &math(\tan^2\theta=\frac{x^2+y^2}{z^2}); の関係を用いて、
&math(\frac{\PD \theta}{\PD x},\frac{\PD \theta}{\PD y},\frac{\PD \theta}{\PD z}); を
&math(r,\theta,\phi); で書き表せ。

(3) &math(\tan\phi=\frac{y}{x}); の関係を用いて、
&math(\frac{\PD \phi}{\PD x},\frac{\PD \phi}{\PD y},\frac{\PD \phi}{\PD z}); を
&math(r,\theta,\phi); で書き表せ。

#hr

上記結果を代入すれば、

 &math(
\begin{cases}

\displaystyle\frac{\PD}{\PD x}=
\sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r}
+\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle\frac{\PD}{\PD y}=
\sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r}
+\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
+\frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle \frac{\PD}{\PD z}=
\cos\theta \frac{\PD}{\PD r}
-\frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm]

\end{cases}
);

** 球座標表示のラプラシアン [#w0c305d4]

 &math(\triangle=\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2});

に上記を代入するだけ! ・・・ 実際やってみるとえらい大変。→ [[計算の詳細>量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子の運動/メモ#o621468a]]

結果だけまとめると、

 &math(\nabla^2=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda);

ただし、

 &math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

** 球座標の角運動量演算子 [#a5b926d0]

単に代入すればよいのだけれど、これも計算は大変 → [[詳細はこちら>量子力学Ⅰ/中心力場内の粒子の運動/メモ#nad66919]]

&math(
\begin{cases}
\displaystyle
\hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big)
=i\hbar\Big(\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big)
\\[4mm]
\displaystyle
\hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big)
=i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big)
\\[4mm]
\displaystyle
\hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big)
=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}
\end{cases}
);

全角運動量は、

 &math(
\hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2
=-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big]
=-\hbar^2\hat\Lambda
);

となって、ラプラシアンの &math(1/r^2); の項の係数は全角運動量を表わす演算子から
&math(-\hbar^2); の係数を取っただけの物であることが分かる。

* 極座標で表わしたシュレーディンガー方程式 [#mfb957f5]

 &math(
\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)+V(r)\Big]\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi)
);

** 変数を分離する [#eed91caf]

&math(\varphi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)); と置けば、

 &math(
&\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\Big)\varphi(r,\theta,\phi)+\Big(\varepsilon-V(r)\Big)\varphi(r,\theta,\phi)=0\\);

 &math(
&\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\);

 &math(
&\frac{\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\
);

左辺は &math(r); のみの関数、右辺は &math(\theta,\phi); のみの関数であるから定数である。
その定数を後を見越して &math(l(l+1)); と置いておく。すなわち、

 &math(
&\Big(r^2\frac{\PD^2}{\PD r^2}+2r\frac{\PD}{\PD r}\Big)R(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1) R(r)\\);

 &math(
&-\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}-\frac{l(l+1)}{r^2}+V(r)\Big)R(r)=\varepsilon R(r)\\
);

 &math(
\hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0
);

のように、動径方向の方程式と回転方向の方程式に分離された。

回転方向の方程式には &math(V(r)); が含まれないため、
具体的なポテンシャルの形状に依らず解くことができる。
** 球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$:角運動量の固有関数 [#s564caed]

回転方向の方程式に &math(-\hbar^2); を掛けると、
&math(\hat{\bm l^2}=-\hbar^2\hat\Lambda); であるから、

 &math(
-\hbar^2\hat\Lambda Y(\theta,\phi)=\hat{\bm l^2}Y(\theta,\phi)=\underbrace{\hbar^2l(l+1)}_{固有値}Y(\theta,\phi)
);

となって、全角運動量の固有値問題になっていることが分かる。

具体的に方程式を書き下せば、

 &math(
\Big[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)Y(\theta,\phi)
);

これをさらに変数分離するため、&math(Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta)\Phi(\phi)); を代入すれば、

 &math(
&\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)\sin^2\theta Y(\theta,\phi)\\
);

 &math(
&\frac{1}{\Theta(\theta)}\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1)\sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\\
);

共通の定数を後を見越して &math(m^2); と置くと、

 &math(\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi));

より、

 &math(\Phi(\phi)\propto e^{im\phi});

一方、

 &math(\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1) \sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=m^2\Theta(\theta));

は、&math(l,m); が

 &math(l=0,1,2,3,\dots);

 &math(m=-l,-(l-1),\dots,-1,0,1,\dots,l-1,l);

の範囲の整数になるときのみ解を持ち、その固有関数は''ルジャンドルの陪関数''と呼ばれている。

 &math(P_l^{|m|}(\zeta)=(1-\zeta^2)^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d\zeta^{|m|}}P_l(\zeta));

ただし、&math(P_l(\zeta)); は''ルジャンドルの多項式''で、

 &math(P_l(\zeta)=\frac{1}{\,2^l\,l!\,}\,\frac{d^l}{\,d\zeta^l\,}(\zeta^2-1)^l);

によって与えられる。これらを用いれば、規格直交完全な固有関数を

 &math(Y_l^m(\theta,\phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\phi});

と表せる。この関数は ''球面調和関数'' と呼ばれる。

#multicolumns
&math(Y_0^0=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }});

&math(Y_1^0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ));

&math(Y_1^1=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ));

&math(Y_2^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_2^1=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_2^2=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ));
#multicolumns
&math(Y_3^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right));

&math(Y_3^1=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_3^2=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_3^3=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{3 i \phi } \sin ^3(\theta ));

・・・
#multicolumns(end)

*** 性質 [#t568ee09]
*** 特徴 [#t568ee09]

- &math((m-|m|)/2=\begin{cases}0&m>=0\\m&m<0\end{cases}); より、
&math((-1)^{(m-|m|)/2}=\begin{cases}
+1\hspace{0.5cm}&m>0\ または\ m\,が偶数\\
-1&m<0\ かつ\ m\,が奇数
\end{cases});
- &math(\sin\theta); と &math(\cos\theta); の &math(l); 次同次関数になっている
(&math(3\cos^2\theta-1=2\cos^2\theta-\sin^2\theta); などとなることに注意せよ)
- &math(\hat{\bm l^2}Y_l^m=-\hbar^2l(l+1)); すなわち、全角運動量は &math(-\hbar^2l(l+1)); である
- &math(\hat l_zY_l^m=-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi}Y_l^m=\hbar mY_l^m); すなわち、&math(z); 軸周りの角運動量は &math(\hbar m); である

*** 形状 [#ac710070]

&math(\theta,\phi); 方向別に &math(|Y_l^m(\theta,\phi)|^2); の大きさをプロットした。

- &math(\phi); 方向は位相が回転するだけで大きさは変化しない
- &math(Y_l^m); と &math(Y_l^{-m}); は位相のみが異なり、同じ形になる
- &math(Y_0^0); は球形
- &math(Y_l^0); (&math(l>0);)は原点に節を持ち &math(z); 方向に長く、
原点周りに &math(l-1); 枚のひだを持つ。
&math(l); が大きいほど &math(z); 方向への伸びが長くなる。
- &math(Y_l^m); (&math(|m|>0);) は &math(z); 方向には値を持たず、
&math(z); 軸を取り囲むように &math(l+1-|m|); 枚のひだを持つ。
- &math(Y_l^l); はドーナツ型になる。
&math(l); が大きいほど扁平で、半径も大きい。

#ref(Y0-4.png,right,around,50%);

&math(l=0); &attachref(Y0-0.jpg,,25%);

&math(l=1); &attachref(Y1-0.jpg,,25%); &attachref(Y1-1.jpg,,25%);

&math(l=2); &attachref(Y2-0.jpg,,25%); &attachref(Y2-1.jpg,,25%); &attachref(Y2-2.jpg,,25%);

&math(l=3); &attachref(Y3-0.jpg,,25%); &attachref(Y3-1.jpg,,25%); &attachref(Y3-2.jpg,,25%); &attachref(Y3-3.jpg,,25%);

&math(l=4); &attachref(Y4-0.jpg,,25%); &attachref(Y4-1.jpg,,25%); &attachref(Y4-2.jpg,,25%); &attachref(Y4-3.jpg,,25%); &attachref(Y4-4.jpg,,25%);

     &math(m=0);     &math(m=1);     &math(m=2);     &math(m=3);     &math(m=4);

*** $z$ が特殊なわけではない [#oe386d3b]

上のグラフを見るとあたかも &math(z); が特殊な方向であるかのように錯覚するがそんなことはない。

 &math(\frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)+Y_1^{1}(\theta,\phi)\big));

や、

 &math(\frac{1}{\sqrt{2}}\big(Y_1^{-1}(\theta,\phi)-Y_1^{1}(\theta,\phi)\big));

は、&math(\big(Y_1^{0}(\theta,\phi)); とそっくり同じ形で、それぞれ &math(x,y); 方向を向いた関数となる。

&attachref(Y1-0z.jpg,,33%); 
&attachref(Y1-0x.jpg,,33%); 
&attachref(Y1-0y.jpg,,33%); 

同じ量子数 &math(l); に属する、縮退した &math(2l+1); 個の固有関数からなる任意の線形結合は
すべて同じ固有値に属する固有関数となる。その中で特に &math(\hat l_z); の固有関数でもある物を
&math(Y_l^m); と名付けたに過ぎない。

&math(\hat l_z); の固有関数であるように選んだのだから &math(z); が特殊な軸になっているというだけ。

 &math(\frac{1}{2l+1}\sum_{m=-1}^l|Y_l^m(\theta,\phi)|^2=\frac{1}{2\sqrt\pi});

すなわち、球対称な定数関数となる。下図は &math(l=1); の場合。

&attachref(Y1-0all.jpg,,33%);

** 動径方向の固有関数 [#y54f7421]

*** 球形の箱形ポテンシャル [#u7cec361]

*** 3次元調和振動子 [#tf639724]

*** 水素原子(静電ポテンシャル) [#c5480582]


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