量子力学Ⅰ/球面調和関数 のバックアップ差分(No.1)

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[[量子力学Ⅰ]]

** 球関数 $Y^m_l(\theta,\phi)$:角運動量の固有関数 [#s564caed]

回転方向の方程式に &math(-\hbar^2); を掛けると、
&math(\hat{\bm l^2}=-\hbar^2\hat\Lambda); であるから、

 &math(
-\hbar^2\hat\Lambda Y(\theta,\phi)=\hat{\bm l^2}Y(\theta,\phi)=\underbrace{\hbar^2l(l+1)}_{固有値}Y(\theta,\phi)
);

となって、全角運動量の固有値問題になっていることが分かる。

具体的に方程式を書き下せば、

 &math(
\Big[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)Y(\theta,\phi)
);

これをさらに変数分離するため、&math(Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta)\Phi(\phi)); を代入すれば、

 &math(
&\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Big]Y(\theta,\phi)=-l(l+1)\sin^2\theta Y(\theta,\phi)\\
);

 &math(
&\frac{1}{\Theta(\theta)}\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1)\sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=-\frac{1}{\Phi(\phi)}\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\\
);

共通の定数を後を見越して &math(m^2); と置くと、

 &math(\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)=-m^2\Phi(\phi));

より、

 &math(\Phi(\phi)\propto e^{im\phi});

一方、

 &math(\Big[\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}
\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+l(l+1) \sin^2\theta\Big]\Theta(\theta)=m^2\Theta(\theta));

は、&math(l,m); が

 &math(l=0,1,2,3,\dots);

 &math(m=-l,-(l-1),\dots,-1,0,1,\dots,l-1,l);

の範囲の整数になるときのみ解を持ち、その固有関数は''ルジャンドルの陪関数''と呼ばれている。

 &math(P_l^{|m|}(\zeta)=(1-\zeta^2)^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{d\zeta^{|m|}}P_l(\zeta));

ただし、&math(P_l(\zeta)); は''ルジャンドルの多項式''で、

 &math(P_l(\zeta)=\frac{1}{\,2^l\,l!\,}\,\frac{d^l}{\,d\zeta^l\,}(\zeta^2-1)^l);

によって与えられる。これらを用いれば、規格直交完全な固有関数を

 &math(Y_l^m(\theta,\phi)=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_l^{|m|}(\cos\theta)e^{im\phi});

と表せる。この関数は ''球面調和関数'' と呼ばれる。

#multicolumns
&math(Y_0^0=\frac{1}{2 \sqrt{\pi }});

&math(Y_1^0=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi }} \cos (\theta ));

&math(Y_1^1=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ));

&math(Y_2^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{\pi }} \left(3 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_2^1=-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_2^2=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{15}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ));
#multicolumns
&math(Y_3^0=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{7}{\pi }} \left(5 \cos ^3(\theta )-3 \cos (\theta )\right));

&math(Y_3^1=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{21}{\pi }} e^{i \phi } \sin (\theta ) \left(5 \cos ^2(\theta )-1\right));

&math(Y_3^2=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{105}{2 \pi }} e^{2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \cos (\theta ));

&math(Y_3^3=-\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{\pi }} e^{3 i \phi } \sin ^3(\theta ));

・・・
#multicolumns(end)


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