箱の中の自由粒子/メモ のバックアップ差分(No.1)

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#contents

* 概要 [#qce2ce54]

[[量子力学Ｉ/箱の中の自由粒子]] のページの補足です。

* 非定常状態の解  [#n62d71f3]

** Mathematica ソース [#d1f602c3]

 LANG:mathematica
 Sum[(1/n!)^2, {n, Infinity}]
 (* output: -1 + BesselI[0, 2] *)
 
 psi[x_, t_] := Sqrt[2/(BesselI[0, 2] - 1)] Sum[Exp[I n^2 t] Sin[n Pi x]/n!, {n, 50}]
 
 Module[{t = 0},
   Show[{
     Plot[ Abs[psi[x, t]]^2, {x, 0, 1}, 
       BaseStyle -> {FontSize -> 18}, ImageSize -> Large, PlotRange -> {0, 3}],
     Graphics[Text["t = " <> ToString[t], {0.8, 2.8}, {-1, 0}]]
   }]
 ]
 
 anim = Table[
   Show[{
     Plot[ Abs[psi[x, t]]^2, {x, 0, 1}, 
       BaseStyle -> {FontSize -> 18}, ImageSize -> Large, PlotRange -> {0, 3}],
     Graphics[Text["t = " <> ToString[t], {0.8, 2.8}, {-1, 0}]]
   }], {t, 0, 10, 0.02}
 ];
 Export["time-dependent.gif", anim, "GIF"]
 
 Show[{
   DensityPlot[ Abs[psi[x,t]]^2, {x, 0, 1}, {t, 0, 10}, 
     PlotPoints -> 100, ImageSize -> Large],
   ParametricPlot[
     { NIntegrate[x Abs[psi[x, t]]^2, {x, 0, 1}], t}, 
     {t, 0, 10}, PlotPoints -> 40, ImageSize -> Large, PlotStyle -> {Thick, Red}]
 }, BaseStyle -> {FontSize -> 18}]

* １次元の箱の中の自由粒子（有限ポテンシャル） [#e7f1fc92]

** 詳しい導出過程 [#eb7f9871]

#ref(量子力学Ｉ/箱の中の自由粒子/continuous.png,right,around,33%);

&math(k=\sqrt{2mE}/\hbar);、&math(k'=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar); に対して、

- 箱の左： &math(\psi_1(x)=Ce^{k'x});
- 箱の中： &math(\psi_1(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx});
- 箱の右： &math(\psi_3(x)=De^{-k'x});

境界条件は、

- &math(\psi_1(0)=\psi_2(0));、&math(\psi_1'(0)=\psi_2'(0));
- &math(\psi_2(a)=\psi_3(a));、&math(\psi_2'(a)=\psi_3'(a));

代入すると、

&math(C=A+B);、&math(k'C=ik(A-B)); より &math(\frac{A-B}{A+B}=\frac{k'}{ik});

&math(Ae^{ika}+Be^{-ika}=De^{-k'a});、&math(ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})=-k'De^{-k'a}); より
&math(\frac{Ae^{ika}-Be^{-ika}}{Ae^{ika}+Be^{-ika}}=-\frac{k'}{ik});

したがって、

　&math(-\frac{A-B}{A+B}=\frac{Ae^{ika}-Be^{-ika}}{Ae^{ika}+Be^{-ika}});

　&math(-(A-B)(Ae^{ika}+Be^{-ika})=(A+B)(Ae^{ika}-Be^{-ika}));

　&math(A^2e^{i2ka}=B^2));

　&math(B=\pm Ae^{ika}));

を得る。これを上の式に代入すれば
&math(C=A(1\pm e^{ika}));、&math(D=Ae^{k'a}(e^{ika}\pm 1)); であり、
さらに &math(k'C=ik(A-B)); より &math(k'(1\pm e^{ika})=ik(1\mp e^{ika}));
を得る。

　&math(
\psi_1(x)&=A(e^{ikx}\pm e^{ka}e^{-ikx})\\
&=Ae^{ka/2}(e^{ik(x-a/2)}\pm e^{-ik(x-a/2)})\\
&=2Ae^{ka/2}\frac{e^{ik(x-a/2)}\pm e^{-ik(x-a/2)}}{2}\\
);

　&math(C=2Ae^{ka/2}\frac{e^{-ika/2}\pm e^{ika/2}}{2});

　&math(D=2Ae^{ka/2}\,e^{k'a}(e^{ika/2}\pm e^{-ika/2}));

　&math((k'a/2)\frac{e^{-ika/2}\pm e^{ika/2}}{2}=i(ka/2)\frac{e^{-ika/2}\mp e^{ika/2}}{2});

より、

[複号の上を取れば]

　&math(\psi_1(x)=2Ae^{ka/2}\cos\big(k(x-a/2)\big));

　&math(C=2Ae^{ka/2}\cos(ka/2));

　&math(D=2Ae^{ka/2}\,e^{k'a}\cos(ka/2));

　&math((k'a/2)\cos(ika/2)=(ka/2)\sin(ka/2));

[複号の下を取れば]

　&math(\psi_1(x)=2iAe^{ka/2}\sin\big(k(x-a/2)\big));

　&math(C=-2iAe^{ka/2}\sin(ka/2));

　&math(D=2iAe^{ka/2}\,e^{k'a}\sin(ka/2));

　&math(-(k'a/2)\sin(ka/2)=(ka/2)\cos(ka/2));

のように、それぞれ &math(x=a/2); を中心に &math(\cos); 的、&math(\sin); 的な波動関数となる。

&math(k,k'); についての条件式の両辺を二乗した上で
&math(k'^2+k^2=\frac{2mV}{\hbar^2}); の関係を使って書き直せば、

[&math(\cos); 的な関数について]

　&math((ka/2)^2(1+\tan^2(ka/2))=\frac{mVa^2}{2\hbar^2}); ただし &math(\tan(ka/2)>0);

[&math(\sin); 的な関数について]

　&math((ka/2)^2(1+\cot^2(ka/2))=\frac{mVa^2}{2\hbar^2}); ただし &math(\tan(ka/2)<0);

を得る。

** Mathematica ソース [#z898078d]

 LANG:mathematica
 Plot[{
   If[Tan[x] < 0, Infinity, x^2 (1 + Tan[x]^2)],
   If[Cot[x] > 0, Infinity, x^2 (1 + Cot[x]^2)]}, 
   {x, 0, 14}, 
   PlotRange -> {0, 200}, BaseStyle -> {FontSize -> 18}, ImageSize -> Large, 
   PlotLegends -> Placed[{"cos 的", "sin 的"}, Above],
   AxesLabel -> {ka/2, mVa^2/(2 \[HBar]^2)}]
 
 NSolve[x^2 (1 + Tan[x]^2) == 50 && Tan[x] > 0 && 0 < x < 10, x, WorkingPrecision -> 15]
 (* {{x -> 1.37508316964374}, {x -> 4.09477807780528}, {x -> 6.63585976688118}} *)
 
 NSolve[x^2 (1 + Cot[x]^2) == 50 && Cot[x] < 0 && 0 < x < 10, x, WorkingPrecision -> 15]
 (* {{x -> 2.74319088650076}, {x -> 5.41164383515459}} *)
 
 coslike[x_, k_] := Module[{k2 = Sqrt[4 50 - k^2]},
   Sign[k] If[x < 0, Cos[k/2] Exp[k2 x], 
      If[x < 1, Cos[k (x - 1/2)], Cos[k/2] Exp[-k2 (x - 1)]]] 10 + k^2
  ]
 
 sinlike[x_, k_] := Module[{k2 = Sqrt[4 50 - k^2]},
   If[x < 0, -Sin[k/2] Exp[k2 x], 
      If[x < 1, Sin[k (x - 1/2)], Sin[k/2] Exp[-k2 (x - 1)]]] 10 + k^2
 ]
  
 Plot[{
  coslike[x, 2 1.37508316964374341419334462792217407823`15.],
  sinlike[x, -2 2.74319088650075787031867823175879453346`15.],
  coslike[x, -2 4.0947780778052791609523226938312581713`15.],
  sinlike[x, 2 5.41164383515459114436056269363192749999`15.],
  coslike[x, 2 6.63585976688118310914259741089030967404`15.]
  },
  {x, -0.5, 1.5}, PlotRange -> {0, 300}, ImageSize -> Large, 
   BaseStyle -> {FontSize -> 20},
   Axes -> {True, False}, 
   PlotStyle -> {Thick, Thin, Thin, Thin, Thin, Thin},
   AspectRatio -> 1
 ]
 
 sin[x_, n_] := If[x < 0, 0, If[x > 1, 0, Sin[n Pi x]]] 10 + (n Pi)^2
 
 Plot[{If[x < 0, 500, If[x < 1, 0, 500]],
  sin[x, 1], sin[x, 2], sin[x, 3], sin[x, 4], sin[x, 5] },
  {x, -0.5, 1.5}, PlotRange -> {0, 300}, ImageSize -> Large, 
  BaseStyle -> {FontSize -> 20},
  Axes -> {True, False}, 
  PlotStyle -> {Thick, Thin, Thin, Thin, Thin, Thin}, 
  AspectRatio -> 1
 ]
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