量子力学Ⅰ/線形代数の復習 のバックアップの現在との差分(No.1)

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[[量子力学I]]
#katex

* 概要 [#c0204dae]

量子力学で用いる関数空間の概念について復習する。

[[線形代数II]]を履修済みの学生を念頭に置いている。

このページは画面幅がある程度大きくないと見づらいため、
スマホよりもPC等の広い画面で見ることを推奨します。

** 目次 [#m4e60a23]

[[量子力学Ⅰ]]
#contents

* 関数の線形空間 = 関数空間 [#ebae6101]

ある決まった区間 &math(a<x<b);(ただし &math(a,b); は &math(\pm\infty); でも可)
で定義された任意の複素関数(&math(\mathcal R\to\mathcal C);)を要素とする集合 
&math(U); は、通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。
で定義される複素関数すべてからなる集合 &math(U); 
を考えると、&math(U); は以下で定義される関数の和と複素数倍に対して線形空間を為す。

すなわち、&math(f,g\in U); のとき、
&math(f,g\in U);、&math(k\in\mathbb C); のとき、

&math(u=f+g); を  &math(u(x)\equiv f(x)+g(x)); として、
 和 &math(u=f+g); を  &math(u(x)\equiv f(x)+g(x));

&math(v=kf); を  &math(v(x)\equiv kf(x)); として
 複素数倍 &math(v=kf); を  &math(v(x)\equiv kf(x));

定義すれば、&math(u,v\in U); であり、&math(U); はこれらの演算に対して閉じている。
(線形空間とは和とスカラー倍に対して閉じた空間のことだった。閉じている、とは演算の結果が集合の外の出ない、つまり &math(u,v\in U); であるということだった。あやふやな人は復習しておくこと。)

以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について復習する。
以下、数ベクトル空間と対比させながら複素関数空間について復習する。

* ベクトルの値 [#m25c4a20]
* ベクトルのグラフ [#m25c4a20]

#multicolumns

&math(\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n); のとき、
&math(\bm a=(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)^T\in\mathbb R^n); のとき、

添字 &math(k); に対して &math(a_k); をプロットすれば、
「ベクトルのグラフ」を表示できる。

&attachref(vector1.png,,33%);

&math(k); から &math(a_k); への対応関係を1つ決めると、
それが1つのベクトルを決めることに相当する。

#multicolumns

&math(u(x)\in U); のとき、

変数 &math(x); に対して &math(u(x)); をプロットすれば、
「関数のグラフ」を表示できる。

&attachref(function.png,,33%);
#multicolumns(end)

&math(x); から &math(u(x)); への対応関係を1つ決めると、
#multicolumns

&ref(線形代数II/関数空間/vector1.png,,33%);

&math(k); から &math(a_k); への対応関係を決めると、
それが1つのベクトルを決めることに相当する。

#multicolumns

&ref(線形代数II/関数空間/function.png,,33%);

&math(x); から &math(u(x)); への対応関係を決めると、
それが1つの関数を決めることに相当する。

#multicolumns(end)

ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、
上記グラフはあくまで概念的な物である。
~

このグラフで考えると、
- ベクトルの和はグラフの上下方向への重ね合わせに
- ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに

それぞれ対応する。

* 内積 [#a0503298]
ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、
上記グラフはあくまで概念的な物である。

SIZE(24){COLOR(RED){本授業で採用している内積の公理は[[かけ算の順番が一般的な物と異なる>線形代数II/内積と計量空間#e8db9a80]]ため注意せよ。}}
* 内積・ノルム・直交・規格化・正規直交 [#a0503298]

以下で用いる &math(A^\dagger); の記号は行列 &math(A); のエルミート共役(随伴行列)を表わしており、&math(A^\dagger\equiv (A^T)^*); と定義される。
ただし、&math(A^T); は &math(A); の転置行列、&math(A^*); は &math(A); の複素共役行列である。

#multicolumns
''[標準内積]''

標準内積:

&math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b
=\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k);
=\sum_{k=1}^n a_k^*b_k);

少し一般化して、
複素内積では &math(a_k); に &math(^*); が付く。
線形代数学では

&math((\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k);
&math((\bm a,\bm b)\equiv\bm a^T\bm b^*
=\sum_{k=1}^n a_kb_k^*);

としても内積の公理を満たす。ただし &math(w_k>0); はある決まった正の数列で、
個々の成分に付けられた重みに相当する。
と定義する流儀もあるが、&math(\bm a); 側に &math(^*); 
を付ける方が量子力学との親和性が高いため、
応用理工の線形代数では上の流儀を採用していた。

#multicolumns
''[標準内積]''

標準内積:
&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,u^*(x)v(x)=\int_a^bdx\,\big(u(x)\big)^*v(x));

&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x));
&math(U); は &math(a<x<b); で積分可能な関数の集合とする。

少し一般化して、
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[非負性]''

&math((u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x));
任意の &math(\bm a); に対して~
&math((\bm a,\bm a)=\sum_{k=1}^na_k^*a_k=\sum_{k=1}^n|a_k|^2\ge 0);

としても良い。ただし、&math(\rho(x)>0); は「重み関数」と呼ばれる。
&math((\bm a,\bm a)= 0); となるのは &math(\bm a=\bm 0); に限る。

#multicolumns
''[非負性]''

任意の &math(u(x)); に対して~
&math((u,u)=\int_a^bdx\,u^*(x)u(x)=\int_a^bdx\,|u(x)|^2\ge 0);

&math((u,u)= 0); となるのは &math(u(x)=0); に限る。

#multicolumns(end)
#multicolumns
''[ノルム]''

* 正規・直交 [#e082a8dc]
&math(|\bm a|\equiv\sqrt{(\bm a,\bm a)});

#multicolumns
''[ノルム]''

正規性:
&math(\|u\|\equiv\sqrt{\int_a^bdx\,|u(x)|^2});

&math((\bm x,\bm x)=\|x\|^2=1);
複素数 &math(u(x)); の絶対値 &math(|u(x)|); と区別するため &math(\|u(x)\|); と書く。

直交:
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[正規化]''

&math((\bm x,\bm y)=0);
&math(\bm e=\frac{1}{|\bm a|}\bm a); とすれば &math(|\bm e|=1);

~
#multicolumns
''[正規化]''

正規直交:
&math(g(x)=\frac{1}{\|u\|}u(x)); とすれば &math(\|g\|=1);

ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[直交]''

&math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});
&math((\bm a,\bm b)=0); のとき &math(\bm a\perp\bm b);

#multicolumns
''[直交]''

正規性:
&math(\int_a^bdx\,u^*(x)v(x)=0); のとき &math(u\perp v);

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)|u(x)|^2=1);
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[正規直交]''

直交:
ベクトルの組 &math(\set{\bm e_k}); に対して

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)=0);
&math((\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij});

正規直交:
#multicolumns
''[正規直交]''

関数の組 &math(\set{\phi_k(x)}); に対して
関数の組 &math(\set{\psi_k(x)}); に対して

&math(\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_i(x)}\phi_j(x)=\delta_{ij});
&math(\int_a^bdx\,\psi_i(x)^*\psi_j(x)=\delta_{ij});

#multicolumns(end)

* 完全性・成分表示 [#u2490b82]

#multicolumns
あるベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、
任意の &math(\bm x\in V); を次の形に表せること。
''[張る]''

ベクトルの組 &math(\set{\bm b_k}); が線形空間 &math(V); を張るとは、
任意の要素 &math(\bm x\in V); を次のように線形結合として表せることである。

&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm b_k);

以下では &math(\{\bm e_i\}); を &math(V); を張る正規直交系、
すなわち &math(V); の正規直交基底であるとする。

#multicolumns
''[完全]''

ある関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); が集合 &math(U); で完全であるとは、
任意の関数 &math(f(x)\in U); を次の形に表せること。
関数系 &math(\set{\psi_k(x)}); が集合 &math(U); で完全であるとは、
任意の関数 &math(f(x)\in U); を次のように線形結合として表せることである。

&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\phi_k(x));
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x));

無限次元なので、和の上限は &math(\infty); となる。
以下では &math(\{\psi_i(x)\}); を &math(U); における正規直交完全系であるとする。
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[成分表示]''

実際には &math(k); の &math(\infty); までの和を取るわけには行かないため、
この表示は &math(N\to \infty); のときに左辺と右辺との差がゼロに近づくことを表わす。つまり、
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); と分解するとき、
その係数は

&math(\Big\|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big\|^2=\int_a^bdx\,\rho(x)\Big|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big|^2\to 0); 
&math(x_k=(\bm e_k,\bm x));

例えば、関数系 &math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); は、任意の無限回微分可能な関数を
として求められる。(あるいは &math(x_k=(\bm x,\bm e_k)^*);)

&math(f(x)=\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{1}{k!}\frac{d^kf}{dx^k}\Big)x^k);
すなわち、

と表せることから、無限回微分可能な関数全体が作る線形空間において完全系をなす。~
(&math(x=0); におけるテイラー展開 = マクローリン展開)
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n (\bm e_k,\bm x)\bm e_k);

#multicolumns(end)

#multicolumns
正規直交基底 &math(\set{\bm e_k}); により 
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); と分解するとき、
その &math(\bm e_k); 成分を
''[成分表示]''

&math(x_k=(\bm e_k,\bm x));
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); と分解するとき、
その係数は

として求められる。(あるいは &math(x_k=\overline{(\bm x,\bm e_k)});)
&math(f_k=\int_a^bdx\,\psi_k^*(x)f(x));

として求められる。

すなわち、

&math(\bm x=\sum_{k=1}^n (\bm e_k,\bm x)\bm e_k);
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty \Bigg[\int_a^bdx'\,\psi_k^*(x')f(x')\Bigg]\psi_k(x));

#multicolumns(end)
#multicolumns
正規直交関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); により 
&math(f(x)=\sum_{k=1}^n f_k\phi_k(x)); と分解するとき、
その &math(\phi_k(x)); の係数を
''[正規直交基底の条件]''

&math(f_k=\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_k(x)}f(x));
上式を変形すれば、

として求められる。すなわち、
&math(\bm x=\Big(\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger\Big) \bm x);

&math(f(x)=\sum_{k=1}^n \Bigg[\int_a^bdx'\,\rho(x')\overline{\phi_k(x')}f(x')\Bigg]\phi_k(x));
となり、任意のベクトル &math(\bm x); に対して成り立つから、

この式を変形すれば
&math(\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger=E);

&math(f(x)=\int_a^bdx'\,\Big[\sum_{k=1}^n \rho(x')\overline{\phi_k(x')}\phi_k(x)\Big]f(x')); 
である。この式を正規直交基底の条件とする場合もある。

となり、これが任意の関数 &math(f); に対して成り立つならば、
#multicolumns
''[正規直交完全性の条件]''

&math(\sum_{k=1}^n \rho(x')\overline{\phi_k(x')}\phi_k(x)=\delta(x'-x));
上式を変形すれば

である。この式を完全性の条件とする場合もある。
&math(f(x)=\int_a^bdx'\,\Big[\sum_{k=1}^\infty \psi_k^*(x')\psi_k(x)\Big]f(x')); 

となり、任意の関数 &math(f); に対して成り立つから、

&math(\sum_{k=1}^\infty \psi_k^*(x')\psi_k(x)=\delta(x'-x));

である。この式を正規直交完全性の条件とする場合もある。(&math(\delta); はディラックのデルタ関数)

#multicolumns(end)
#multicolumns
''[成分とノルム]''

与えられた関数をこのように正規直交な完全関数系で展開することを、
「フーリエ式展開」と呼ぶ。
&math(\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k); のとき、

&math(|\bm x|^2=\sum_k^n |x_k|^2);

#multicolumns
''[成分とノルム]''

正規直交基底 &math(\set{\bm e_k}); に対するベクトル &math(\bm x); の表現を
&math({}^t\begin{pmatrix}x1&x2&\dots&x_n\end{pmatrix}); とすれば、
&math(f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\psi_k(x)); のとき、

&math(\|\bm x\|^2=(\bm x,\bm x)=\sum_k |x_k|^2);
&math(\|f\|^2=\sum_k^\infty |f_k|^2);

→ [[正規直交基底に対する内積の成分表示>線形代数II/内積と計量空間#o879b519]] を参照
#multicolumns(end)

この関係は内積で書いたノルムの式に展開した形を代入し、正規直交条件を用いることで容易に導ける。

* 部分空間 [#q57c00e9]

たとえば、
&math(V=\set{f\in U|f(a)=f(b)=0}); とすれば &math(V\subset U); 
であり、なおかつ &math(V); は和とスカラー倍について閉じている。したがって、&math(V); は &math(U); の部分空間となる。

このように、&math(U); に___和やスカラー倍で保存する何らかの制約___を課した部分空間を考えることもよく行われる。

- ?回微分可能とか、積分可能とか
- 両端でゼロとなる境界条件 (&math(\phi(a)=\phi(b)=0);)とか、周期的境界条件 (&math(\phi(a)=\phi(b));)とか
- ある線形な微分方程式の解であるとか(ある線形演算子 $\hat A$ に対する $\hat A\bm x=\bm 0$ の解空間)

* 線型変換・線型演算子 [#q7f74d1f]

#multicolumns
''[線型変換]''

パーセバルの等式:
あるベクトルを同じ空間の別のベクトルに変える変換 &math(F(\bm x)); が
任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して

ある正規直交関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); が完全であることと、
任意の関数 &math(f(x)); に対して &math(f_k=(\phi_k(x),f(x))); を求めた際に
&math(F(\alpha\bm a+\beta\bm b)=\alpha F(\bm a)+\beta F(\bm b));

&math(\|f\|^2=\int_a^b dx|f(x)|^2=\sum_{k=1}^\infty|f_k|^2);
を満たす時、これを線型変換という。

を満たすこととは同値となる。この等式はパーセバルの等式と呼ばれる。
#multicolumns
''[線型演算子]''

例えば、&math(\set{\phi_1,\phi_2,\phi_3,\dots}); が完全系であるとき、
&math(\set{\phi_1,\phi_3,\phi_5,\phi_7,\dots}); は恐らく完全系ではない。
このように関数系が不完全なときは、右辺の項数が不足する。
ある関数を別の関数に変える演算子 &math(\hat F); が
任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して

両方合わせると、任意の正規直交関数系 &math(\set{\phi_k(x)}); に対して
&math(\hat F(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha \hat Ff(x)+\beta \hat Fg(x));

&math(\|f\|^2=\int_a^b dx\|f(x)\|^2\geqq\sum_{k=1}^\infty|f_k|^2);
を満たす時、これを線型演算子という。

が成り立つ。これをベッセルの不等式と呼ぶ。
例えば~
 &math(\hat A: f(x)\mapsto \frac{d}{dx}f(x)); や~
 &math(\hat B: f(x)\mapsto (3x^2+1)f(x));~
 &math(\hat C: f(x)\mapsto f(x+1));~
は線型演算子である。

#multicolumns(end)

ここまでの話は、積分や無限級数の和が収束することが条件となっていて、
そのあたりの詳しい話は解析学の範疇になる。
#multicolumns
''[行列表現]''

正規直交系の取り方によっても、どんな場合に収束するかなどが異なることがあるため、
個々のケースについて使いながら覚えていく必要がある。
線型変換 &math(F(\bm x)); の行列表現 &math(A=(a_{ij})); は

* 正規直交な完全関数系の例 [#wb9c96d2]
&math(a_{ij}=(\bm e_i,F(\bm e_j)));

授業で扱う範囲においては、
であり、このとき

ルジャンドル(Legendre)多項式 は主に量子力学で、
&math(F(\bm x)=A\bm x=\sum_{i=0}^n \bm e_i\sum_{j=0}^n a_{ij}\underbrace{(\bm e_j,\bm x)}_{x_j});

実・複素フーリエ級数は 波動・電気回路・信号処理などの他にも幅広い分野で、
と表せる。
#multicolumns
''[行列表現]''

活用されることになる。
任意の線型演算子 &math(\hat Ff(x)); に対してその行列要素は

** ルジャンドル(Legendre)多項式 [#obfa5335]
&math(F_{ij}=\int_a^bdx\,\psi_i^*(x)\hat F\psi_j(x));

ルジャンドル多項式は、内積の積分範囲を &math([-1,1]); に、また、重み関数 &math(\rho(x)=1); において
&math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); をシュミットの直交化法を用いて直交化して得られる関数系である。
(厳密には係数分だけ異なるが)
と定義され、

&math(\set{1,x,x^2,x^3,\dots}); と同様に無限回微分可能な関数を元とする関数空間に於いて完全系をなす。
&math(\hat Ff(x)=\sum_{i=0}^\infty \psi_i^*(x)\sum_{j=0}^\infty F_{ij}\underbrace{\int_a^bdx\,\psi_j^*(x)f(x)}_{f_j});

#multicolumns(end)

* エルミート変換 [#occc27d8]

#multicolumns
1) 
''[エルミート共役]''

&math(\bm f_0=1);
任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して

&math((\bm f_0,\bm f_0)=\int_{-1}^1 dx=[x]_{-1}^1=2);
&math((\bm a,A\bm b)=(A^\dagger\bm a,\bm b));

&math(\therefore \bm e_0=\frac{1}{\|\bm f_0\|}\bm f_0=\frac{1}{\sqrt 2});
となるような &math(A^\dagger); を &math(A); のエルミート共役と呼ぶ。

標準内積では &math(A^\dagger=(A^T)^*); として求められる。
#multicolumns
2) 
''[エルミート共役]''

&math(\bm f_1&=x-(\bm e_0,x)\bm e_0\\
&=x-\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx\,x\\
&=x-\frac{1}{2}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_{-1}^1\\
&=x);
任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して

&math((\bm f_1,\bm f_1)=\int_{-1}^1 dx\,x^2=[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^1=\frac{2}{3});
&math(\int_a^bdx\,f^*(x)\hat Ag(x)=\int_a^bdx\,\big(\hat A^\dagger f(x)\big)^*g(x));

&math(\therefore \bm e_1=\frac{1}{\|\bm f_1\|}\bm f_1=\sqrt{\frac{3}{2}}x);
となるとき、&math(\hat A^\dagger); を &math(\hat A); 
のエルミート共役と呼ぶ。
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[エルミート行列]''

&math(A^\dagger=A); のとき &math(A); をエルミート行列と呼ぶ。

このとき 

&math((\bm a,A\bm b)=(A\bm a,\bm b)); 

が成り立つ。

#multicolumns
3) 
''[エルミート演算子]''

&math(\bm f_2&=x^2-(\bm e_0,x^2)\bm e_0-(\bm e_1,x^2)\bm e_1\\
&=x^2-\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx\,x^2-\frac{3}{2}\int_{-1}^1dx\,x^3\\
&=x^2-\frac{1}{2}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-1}^1-\frac{3}{2}\Big[\frac{x^4}{4}\Big]_{-1}^1\\
&=x^2-\frac{1}{3});
&math(\hat A^\dagger=\hat A); のとき &math(\hat A); をエルミート演算子と呼ぶ。

&math((\bm f_2,\bm f_2)&=\int_{-1}^1 dx\,\Big(x^4-\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{9}\Big)\\
&=\Big[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{9}x^3+\frac{1}{9}x\Big]_{-1}^1\\
&=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45});
このとき 

&math(\therefore \bm e_2&=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2\\
&=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\sqrt{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\\
&=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{2}(3x^2-1));
&math(\int_a^bdx\,f^*(x)\hat Ag(x)=\int_a^bdx\,\big(\hat Af(x)\big)^*g(x)); 

が成り立つ。

#multicolumns(end)

これを続けると、一般に

&math(\bm e_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n}_{\displaystyle P_n(x)});

の形が得られる。式中で &math(P_n(x)); として表わした部分がルジャンドル多項式と呼ばれる。
* ユニタリー変換 [#l5f20be7]
#multicolumns
''[ユニタリー行列]''

具体的な形は、
任意の &math(\bm a,\bm b\in V); に対して

&math(P_0(x)=1);
&math((U\bm a,U\bm b)=(\bm a,\bm b));

&math(P_1(x)=x);
となる &math(U); をユニタリー行列と呼ぶ。

&math(P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1));
当然、&math(|U\bm a|=|\bm a|); も成り立つ。

&math(P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x));
またこのとき &math(U^\dagger U=UU^\dagger=E); すなわち
&math(U^\dagger=U^{-1}); である。
#multicolumns
''[ユニタリー演算子]''

&math(P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3));
任意の &math(f(x),g(x)\in U); に対して

&math(P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x));
&math(\int_a^bdx\,\big(\hat Uf(x)\big)^*\big(\hat Ug(x)\big)=\int_a^bdx\,f^*(x)g(x));

&math(P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5));
となる &math(\hat U); をユニタリー演算子と呼ぶ。

などとなる。
当然、&math(\|Uf(x)\|=\|f(x)\|); も成り立つ。

** 実フーリエ級数展開 [#fa35d828]
またこのとき &math(\hat U^\dagger \hat U=\hat U\hat U^\dagger=\hat 1); すなわち
&math(\hat U^\dagger=\hat U^{-1}); である。

区間 &math([-\pi,\pi]); を定義域とする実関数空間に、
重み関数 = 1 として内積を導入するとき、
ここで &math(\hat 1:f(x)\mapsto f(x)); は恒等変換を表わす。

&math(\Big\{
a_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\
a_1(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos x, b_1(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin x, \\
a_2(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos 2x, b_2(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin 2x, \dots,\\
a_k(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos kx, b_k(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin kx,\dots\Big\}
);
#multicolumns(end)
#multicolumns
''[正規直交基底の変換行列]''

は正規直交基底を為す。→ 正規直交性を確かめよ
&math(\{\bm e_k\}); と &math(\{\bm f_k\}); がどちらも正規直交基底であれば、

&math(f(x)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k a_k(x)+\sum_{k=1}^\infty \beta_k b_k(x));
&math(\bm f_k=U\bm e_k);

と展開するとき、各係数は、
となる &math(U_{e\to f}); はユニタリー行列になる。

&math(\alpha_0=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{a_0(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, f(x));
#multicolumns
''[正規直交完全系の変換演算子]''

&math(\alpha_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{a_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, \cos kx\,f(x));
&math(\{\psi_k(x)\}); と &math(\{\phi_k(x)\}); がどちらも正規直交完全系であれば、

&math(\beta_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{b_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, \sin kx\,f(x));
&math(\phi_k(x)= \hat U \psi_k(x));

として与えられる。
となる &math(\hat U); はユニタリー変換になる。

微分不可能な点を持っているような関数を含む、
ルジャンドル多項式で表せる空間よりもさらに広い空間で完全系となる。
#multicolumns(end)

** 複素フーリエ級数展開 [#fa35d828]
* 固有値問題 [#m2006e96]

区間 &math([-\pi,\pi]); を定義域とする複素関数空間に、
重み関数 = 1 として内積を導入するとき、
** 固有値、固有ベクトル・固有関数 [#f82e64ef]

&math(\Big\{
\phi_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\
\phi_1(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{ix}, \phi_{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-ix}, \\
\phi_2(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{2ix}, \phi_{-2}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-2ix}, \dots,\\
\phi_k(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{kix}, \phi_{-k}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-kix}, \dots\Big\}
);
#multicolumns
''[行列の固有値問題]''

は正規直交基底を為す。→ 正規直交性を確かめよ
正方行列 $A$ に対して、

&math(f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k \phi_k(x));
$$A\bm x=\lambda \bm x$$

と展開するとき、各係数は、
を満たす固有値 $\lambda$ と、固有ベクトル $\bm x$ を求める問題。

&math(f_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline {\phi_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, e^{-ikx}f(x));
$A$ が $n$ 次正方行列であれば、最大で $n$ 個の異なる固有値 $\lambda_k$ が求まり、それぞれの固有値に対して $1$ 個以上の一次独立な固有ベクトル $\bm x_k^{(l)}$ が求まる。

として与えられる。
#multicolumns
''[線形演算子の固有値問題]''

微分不可能な点を持っているような関数を含む、
ルジャンドル多項式で表せる空間よりもさらに広い空間で完全系となる。
$U$ をある関数空間として、線形演算子 $\hat A:U\to U$ に対して、

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               [[>>> 次の単元>線形代数II/射影・直和・直交直和]]
$$\hat A f(x)=\lambda f(x)$$

を満たす固有値 $\lambda$ と、固有関数 $f(x)\in U$ を求める問題。

行列とは異なり無限個の固有値が求まる場合があり、さらに $\lambda_1,\lambda_2,\dots$ のように固有値が離散的に求まる場合と、ある範囲の $\lambda$ がすべて固有値となるような連続的な固有値が求まる場合とがある。

#multicolumns(end)

*** 連続固有値と離散固有値 [#l67d8f01]

$U$ を $-\infty<x<\infty$ で定義された有限な複素関数の集合とし、$\hat A=-\frac{d^2}{dx^2}$ とすると、
任意の $\lambda\ge 0$ が固有値となり、それに対応する固有関数は $e^{ikx}$ および $e^{-ikx}$ である。ただし、$k=\sqrt{\lambda}$ ($\lambda=0$ に限り $e^{ikx}$ と $e^{-ikx}$ とは独立にならない)。確かめてみると、

$$\hat Af_{\pm k}(x)=-\frac{d^2}{dx^2}e^{\pm ikx}=\mp ik\frac{d}{dx}e^{\pm ikx}=k^2e^{\pm ikx}= \lambda f_{\pm k}(x)$$

一方、箱の中の自由粒子でやったように $a$ を正の定数として $U'$ を $0\le x\le a$ で定義された $f(0)=f(a)=0$ を満たす関数の集合とすると(境界条件の追加)、$\hat A$ の固有値は離散的になり $n$ を自然数として $\lambda_n=-(n\pi/a)^2$ のみが固有値となる。対応する固有関数は $e^{in\pi x/a}$ と $e^{-in\pi x/a}$ である。

** 対角化可能性 [#me56c699]
*** 相似変換 [#e5c2b3bf]
*** 固有関数の直交性 [#te68020b]
*** 正規行列・正規演算子 [#c888ca5b]
** エルミート行列の固有値は実数 [#fb478b4f]
** ユニタリー行列の固有値は絶対値が1 [#cc0ed7b6]

* デターミナント・トレース・固有値 [#sb743be3]
** 定義・性質 [#vec8e625]
** 固有値との関係 [#p1b01fdf]
** 相似変換で保存 [#u27da019]
** デターミナントとノルム [#k8326c7d]

* 行列の関数 [#l13bb77c]

** $H$ がエルミートなら $e^{iH}$ はユニタリー [#a5808b18]

&math(H); の固有値を &math(\lambda_1,\lambda_2,\dots); とすれば、

&math(U=e^{iH}); の固有値は &math(e^{i\lambda_1},e^{i\lambda_2},\dots); であり、
すべて絶対値が1となるからこれはユニタリーである。

* 質問・コメント [#xe022926]

#article_kcaptcha
**文字の変換について [#i9a8f790]
> (&timetag(2019-09-14T09:29:41+09:00, 2019-09-14 (土) 18:29:41);)~
~
記事の内容に関係なくて申し訳ないのですが、文字がうまく変換されていない部分が2か所あります。~
1つは部分空間の部分の「ある線形演算子 $\hat A$ に対する $\hat A\bm x=\bm 0$ の解空間」で、もう一つは「$H$ がエルミートなら $e^{iH}$ はユニタリー」の部分です。~

//
- ご指摘ありがとうございます。直ったと思います。 -- [[武内(管理人)]] &new{2019-10-21 (月) 17:24:04};

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