量子力学Ⅰ/群速度と波束の崩壊 のバックアップ(No.3)

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量子力学Ⅰ

ある位置に局在する、有限の運動量を持つ波束

  • x=x_0 に存在する運動量 p=p_0 の古典粒子

に対応するのは、

  • x=x_0 付近に局在する波数 k=k_0=p_0/\hbar の波動関数

このような局在した波動関数を「波束」と呼ぶ。

以下、 x_0=0 として波束の運動を考える。

波数 k=k_0 の波動関数:

 &math( \varphi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik_0x} );

ガウス関数を掛けて「波束」にする。

 &math( \varphi(x) &=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}\,e^{ik_0x}\\ );

このとき、

 &math( |\varphi(x)|^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}e^{-x^2/2\sigma_{x0}^2} );

より、空間分布は x=0 を中心とした標準偏差 \sigma_{x0} の正規化されたガウス関数になっている。

この関数の波数は k=k_0 と言える?

波動関数を波数毎の成分に分解するにはフーリエ変換すればいい:

 &math( \varphi(k)&=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikx}\varphi(x)dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/4\sigma_{x0}^2}e^{-i(k-k_0)x}dx\\ &=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-\{x/2\sigma_{x0}+i\sigma_{x0}(k-k_0)\}^2}\frac{dx}{2\sigma_{x0}}}_{\sqrt \pi}e^{-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2}\\ &=\sqrt{\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4} );

ここから、

 &math( |\varphi(k)|^2&=\frac{2\sigma_{x0}}{\sqrt{2\pi}}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/2} );

したがって、 k の分布は p=\hbar k_0 を中心に、 \sigma_{k0}=1/2\sigma_{x0} のガウシアンとなることが分かる。

 &math( \sigma_{x0}\cdot\sigma_{p0}=\sigma_{x0}\hbar\sigma_{k0}=\hbar/2 );

であるから、上記の関数に対する \sigma_{x}\cdot\sigma_{p} は不確定性原理で与えられる最小値となる。すなわち、この関数は「最小波束」を与えることが分かる。

自由な粒子の分散関係

自由な粒子では、

  \varepsilon=\frac{p^2}{2m}

より、

  \hbar\omega_k=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}

がその分散関係を与えるのであった。

したがって、波数 k の成分の位相は e^{-i\omega_kt}=e^{-\hbar k^2t/2m} で回転する。

すなわち、上記最小波束の時間発展は、

 &math( \psi(x,0)&=\varphi(x)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}dk\\ );

に対して、

 &math( \psi(x,t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(k)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}e^{-i\omega_kt}dk\\ &=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2/4+ikx-i\hbar k^2t/2m}dk\\ );

指数部を整理すると、

 &math( &-\sigma_{x0}^2(k-k_0)^2+ikx-i\hbar k^2t/2m\\ &=-\sigma_{x0}^2(1+i\underbrace{\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}_{\xi t})k^2+\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}k-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2+ \frac{\sigma_{x0}^2\{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0\}^2}{4(1+i\xi t)}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ );

2項目以降は、

 &math( &\frac{\sigma_{x0}^2\{ix/2\sigma_{x0}^2+k_0\}^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x+\sigma_{x0}^2k_0^2}{1+i\xi t}-\sigma_{x0}^2k_0^2\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+ik_0x-i\overbrace{\sigma_{x0}^2k_0^2\xi}^{\omega_{k0}} t}{1+i\xi t}\\ &=\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\\ );

であるから、

 &math( \psi(x,t)&=\sqrt{\frac{\sigma_{x0}}{\pi\sqrt{2\pi}}} \frac{\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]}{\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}} \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\sigma_{x0}^2\left[\sqrt{1+i\xi t}\ k-\frac{ix/\sigma_{x0}^2+2k_0}{2\sqrt{1+i\xi t}}\right]^2}\left(\sigma_{x0}\sqrt{1+i\xi t}\ dk\right)}_{\sqrt{\pi}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}(1+i\xi t)}}\exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\ );

ただし、 \xi=\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2} \omega_0=\frac{\hbar k_0^2}{2m}

このとき、

 &math( |\psi(x,t)|^2&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{(1-i\xi t)(1+i\xi t)}} \exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2-i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1-i\xi t}\right] \exp\left[\frac{-x^2/4\sigma_{x0}^2+i(k_0x-\omega_{k0} t)}{1+i\xi t}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\omega_{k0}t)\xi t}{1+\xi^2t^2}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2/2\sigma_{x0}^2+2(k_0x-\hbar k_0^2 t/2m)\hbar t/2m\sigma_{x0}^2}{1+\xi^2t^2}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-x^2+(2x-\hbar k_0 t/m)\hbar k_0 t/m}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}} \exp\left[\frac{-\{x-(\hbar k_0/m) t\}^2}{2\sigma_{x0}^2(1+\xi^2t^2)}\right]\\ );

であり、これは

  x=x_0-(\hbar k_0/m) t

を中心とする、標準偏差

  \sigma_x=\sigma_{x0}\sqrt{1+\xi^2 t^2}=\sigma_{x0}\sqrt{1+\left(\frac{\hbar}{2m\sigma_{x0}^2}\right)t^2}

のガウス関数になっている。

すなわちこの関数は群速度 v_G=\hbar k_0/m=p_0/m で進みながら、 徐々に幅が広がり、高さがつぶれていく。

幅の広がる速さは \sigma_{x0} が小さいほど速い。

なぜなら、 \sigma_{k0}=1/2\sigma_{x0} からも分かるとおり、 \sigma_{x0} が小さい波束ほど、 様々な速度の波数成分を重ね合わせて作られており、 時間が経つにつれて各成分の位相がより速やかにずれていき、 波形が崩れていくためである。


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