量子力学Ⅰ/電磁気学における光 のバックアップ(No.1)

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private/量子力学Ｉ/前期量子論?

電磁波は定数 c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} を用いた次の波動方程式を満たす。

&math( \nabla^2 \bm E(\bm x,t)=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm x,t)\\ \nabla^2 \bm B(\bm x,t)=\frac{1}{c^2}\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm B(\bm x,t)\\ );

この解は、 \bm E と \bm B とが光速 c で伝わる形になる。電場と磁場は互いに垂直で、その大きさは |\bm E(\bm x,t)|=c|\bm B(\bm x,t)| の形で比例し、両者は同位相で振動しながら伝わる。

光の周期 T 、周波数 \nu (ニュー)、角周波数 \omega (オメガ)、波長 \lambda (ラムダ)、波数 k の関係は、

\nu=1/T , \omega=2\pi\nu=2\pi/T , \lambda=cT , k=2\pi/\lambda=\omega/c

電場や磁場が運ぶエネルギー流の密度(単位時間、単位面積あたり)は、ポインティングベクトル \bm S=\bm E\times\bm B/2\mu_0 で表わされる。

その時間平均は、電場と磁場の振幅をそれぞれ E_0, B_0 として、

S=\frac{1}{2\mu_0}E_0B_0=\frac{1}{2c\mu_0}E_0^2=\frac{1}{2c\mu_0}(cB_0)^2

ベクトルポテンシャルで書き直すと、 \omega^2 あるいは k^2 に比例する形になる。

S=\frac{\omega^2}{2c\mu_0}A_0^2=\frac{ck^2}{2\mu_0}A_0^2

空間中のエネルギー密度(単位体積あたり)はこれを c で割って、

w=S/c=\frac{1}{2c^2\mu_0}E_0^2=\frac{\omega^2}{2c^2\mu_0}A_0^2

電場や磁場が運ぶ運動量流の密度（単位時間あたり、単位面積あたり）は \bm S/c であり、 その大きさは光の場合 w に等しい。

空間中の運動量密度（単位体積あたり）は |\bm S/c^2|=w/c となる。この、

(運動量)=(エネルギー)/c

という関係は、量子力学でも保たれる。

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