量子力学Ⅰ/３次元調和振動子 のバックアップ(No.11)

復習：$x,y,z$ 座標で解いた３次元調和振動子 †

バネ定数 の３次元調和振動子

　&math( V(x,y,z)&=\frac{1}{2}K(x^2+y^2+z^2)\\ &=\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2)\hspace{1cm}\omega:固有振動数 );

について変数分離して、１次元調和振動子の積として解ける。

　

はそれぞれエルミート多項式 を使って、

　

の形となり、

　

ただし 。このとき、

　&math( \varepsilon_N&=\varepsilon_{n_x}+\varepsilon_{n_y}+\varepsilon_{n_z}\\ &=\hbar\omega(n_x+n_y+n_z+3/2)\\ &=\hbar\omega(N+3/2)\\ );

すなわち、 のそれぞれに対して 独立な解が 個存在することになる。

球座標で解いた３次元調和振動子 †

一方、この問題は球対称なポテンシャル

　

における運動であるから、この解は球座標で展開して解くことにより

　

と表せるはずである。ただしこのとき、

　

と書き表せ、エネルギーは の値によらない。

ただし、水素原子のところでも見たとおり、ポテンシャルの形状によっては に対する縮退以外にも、異なる を持つ状態が縮退することがある。

両者の関係は？ †

次に見るとおり、

• の縮退度は 1 → s 状態 (縮退度 1)
• の縮退度は 3 → p 状態 (縮退度 3)
• の縮退度は 6 → d 状態 (縮退度 5) と s 状態 (縮退度 1) が縮退
• の縮退度は 10 → f 状態 (縮退度 7) と p 状態 (縮退度 3) が縮退

にそれぞれ対応している。

演習：３次元調和振動子の動径方向の方程式 †

上で出てきた動径方向の関数が、対応する の値に対して３次元調和振動子の方程式の解になっていることと、 その固有値が与えられた から予想されるエネルギー値に等しいことを確かめたい。

(1) ３次元調和振動子に対する動径方向の方程式は、 と書き換え、 と置けば、

&math( X''(\xi)=\Big[\xi^2-\frac{2\varepsilon}{\hbar\omega}+\frac{l(l+1)}{\xi^2}\Big]X(\xi) );

となることを示せ。( のとき、この式は１次元調和振動子の式と一致する)

(2) となることを確かめよ。

(3) が に対する固有関数となることを示せ。

(4) が に対する固有関数となることを示せ。

$N=0$ の解 †

　&math( \varphi_{000}(\bm r) &=\left(\frac{4\pi}{r_0}\right)^{3/4}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} &\propto e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} );

は に依存しない。

一方、 も に依存しないので、

　&math( \varphi_{000}(\bm r) &\propto e^{-\frac{r^2}{r_0^2}}\,Y_0{}^0\\ );

と書ける。

すなわち の解は s 状態であり、 に対して であることが分かる。

$N=1$ の解 †

　&math( \varphi_{100}(\bm r)\propto\frac{x}{r_0}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} =\sin\theta\cos\phi e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} );

　&math( \varphi_{010}(\bm r)\propto\frac{y}{r_0}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} =\sin\theta\sin\phi e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} );

　&math( \varphi_{001}(\bm r)\propto\frac{z}{r_0}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} =\cos\theta e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}} );

ここで、

　&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

でることに注意せよ。

一方、

　

　

であったから、

　&math( \varphi_{100}(\bm r)\propto \frac{r}{r_0}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}}\,(Y_1{}^1-Y_1{}^{-1})/2 );

　&math( \varphi_{010}(\bm r)\propto i\frac{r}{r_0}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}}\,(Y_1{}^1+Y_1{}^{-1})/2i );

　&math( \varphi_{001}(\bm r)\propto \frac{r}{r_0}e^{-\frac{r^2}{2r_0^2}}\,Y_1{}^0 );

すなわち、 に対応する はすべて、

　

の形の関数の線形結合で表されることが分かる。

同じ固有値に属する固有関数の線形結合は、やはり同じ固有値に属する固有関数になるから、 に対する の固有関数の線形結合として表されるこれらの関数は、 やはり の固有関数になる。すなわち p 状態である。

はそのまま の に対する固有関数でもある。

はそのままでは の固有関数ではないが、

　

　

とすることにより のそれぞれ の固有関数となる。

物理的には、 方向に振動する については 軸周りの角運動量はゼロであり、 方向に振動する についてもそれら単独ではやはり 軸周りの角運動量の期待値はゼロである。

しかし、 方向に振動しつつ同時に 方向にも振動する場合、 それらの位相によっては 軸周りの各運動量が生じることになる。

ここでは をかけて足しており、 これは物理的には 方向の振動に対して 方向の振動の位相が だけずれており、なおかつ両方向の振幅が等しいことに対応する。 すなわち、 が 的な振動をするとき が 的に振動することになり、 これはすなわち 軸の周りの左回り／右回りの円運動に他ならない。

$N=2$ および $N=3$ の解 †

上では、

　&math( \begin{array}{llll} r (Y_1{}^{1}-Y_1{}^{-1})&\propto x&\to&\varphi_{px}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Y_1{}^{1}-Y_1{}^{-1})\\ r i(Y_1{}^{1}+Y_1{}^{-1})&\propto y&\to&\varphi_{py}=\frac{-i}{\sqrt{2}}(Y_1{}^{1}+Y_1{}^{-1})\\ r Y_1{}^0&\propto z&\to&\varphi_{pz}=Y_1{}^0\\ \end{array} );

を用いて式変形を行ったが、これと同様に、

　&math( \begin{array}{lllll} r^2\, i(Y_2{}^{2}-Y_2{}^{-2}) &\propto xy&\to&\varphi_{dxy}&=\frac{-i}{\sqrt 2}(Y_2{}^{2}-Y_2{}^{-2})\\ r^2\, i(Y_2{}^{1}+Y_2{}^{-1}) &\propto yz&\to&\varphi_{dyz}&=\frac{-i}{\sqrt 2}(Y_2{}^{1}+Y_2{}^{-1})\\ r^2\, (Y_2{}^{1}-Y_2{}^{-1}) &\propto zx &\to&\varphi_{dzx}&=\frac{1}{\sqrt 2}(Y_2{}^{1}-Y_2{}^{-1})\\ r^2\, (Y_2{}^{2}+Y_2{}^{-2})&\propto x^2-y^2&\to&\varphi_{d(x^2-y^2)}&=\frac{1}{\sqrt 2}(Y_2{}^{2}+Y_2{}^{-2})\\ r^2\, Y_2{}^{0} &\propto 3z^2-r^2&\to&\varphi_{d(3z^2-r^2)}&=Y_2{}^{0} \end{array} );

などの関係を用いることにより、

• ６重に縮退した は s 状態と d 状態が１つずつ縮退した状態

• １０重に縮退した は p 状態と f 状態の縮退した状態

になっていることを確かめられる。具体的には、

の解は、

　 　と、 　

の線形結合で、

の解は、

　 　と、 　

の線形結合で、それぞれ表せる。詳しい計算はこちら

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