電磁気学/Coulomb の法則 のバックアップ(No.2)

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電磁気学

§３ Coulomb (クーロン) の法則 †

電場の大きさ †

距離 R だけ離れた位置にある電荷 e' から及ぼされる力と電場

  • 電荷に比例
  • 距離の二乗に反比例

F=k\frac{ee'}{R^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{ee'}{R^2} 　　　 E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e'}{R^2}

比例係数を \epsilon_0 : 真空の誘電率 を用いて表わし、電荷の単位を決定した。

電場の向き †

electric_field_direction.png

R=|\bm x-\bm x'|

E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e'}{|\bm x-\bm x'|^2}

\bm E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e'}{|\bm x-\bm x'|^2}\frac{\bm x-\bm x'}{|\bm x-\bm x'|}

e'>0 かつ e>0 を置いたときに e' から遠ざかる向きの力（斥力）を受けるよう、正しく符号が決まっていることを確認せよ。

複数の電荷があった場合 †

全体の電場は個々の電場の重ね合わせで求められる。

\bm E(\bm x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_i\frac{e_i}{|\bm x'-\bm x_i|^2}\frac{\bm x'-\bm x_i}{|\bm x'-\bm x_i|}

電気力線 †

複数の電荷からなる電場の様子を思い浮かべやすいよう、電気力線を導入する。

電気力線は、

  • 方向は各点での電場と平行になるように、
  • 密度は電場の強さに比例するように、

空間中に引かれた有向曲線。

線の密度と電場の強さとの間の比例係数は特に決まっていないため、 電場の様子が分かりやすい程度の密度を選んで表示すればよい。

electric_flux1.png

　　　　　electric_flux2.png

以下では、上記のルールに従って引いた電気力線が次の性質を持つことを見ていく。

  • 正電荷は電気力線の湧き出し点となる
  • 負電荷は電気力線の吸い込み点となる
  • 電荷のない場所で電気力線は途切れない

点電荷から湧き出す電気力線の数 †

点電荷 e を中心とした半径 R の球面から出て行く電気力線の本数を次のようにして求める。

　　(電気力線の本数) ＝ (電気力線の密度) x (面積)

電気力線の密度 ＝ 電場の強さ： E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{R^2}

球面の面積： 4\pi R^2

∴ 湧き出す電気力線の本数： E\cdot 4\pi R^2=\frac{e}{\epsilon_0}

R に依らず一定値であることは、 電気力線が電荷のない場所で途切れないことに対応している。

1\,\mathrm{C} あたり 1/\epsilon_0 の湧き出しがある。

一般の閉曲面からの湧き出し †

面と電場が垂直に交わらない時に湧き出し量をどう定義する？

&math( &|\bm E|\cdot dS\cdot \cos\theta\\ &=\bm E\cdot\bm n\,dS);

斜めに出る分、実質的な湧き出し量が減るため、係数 \cos\theta がかかる。

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