電磁気学/Faraday の電磁誘導 のバックアップソース(No.4)

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[[電磁気学]]

* 目次 [#q7ae2661]

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* §1−4 Faraday (ファラデー) の電磁誘導 [#c80794c2]

電磁誘導:磁束の変化で「起電力」が生じる

磁束 &math(N=\underbrace{B}_{磁束密度}\cdot \underbrace{S}_{面積});

起電力 &math(\phi=IR=-\frac{dN}{dt});

すなわち、誘導電流は、
- 磁束の時間変化に比例
- 抵抗に反比例

* 起電力 = 電位? [#p26a3df7]

起電力 &math(\phi=\oint_C \bm E\cdot d\bm r);

これは「電位」とは違う?

電位 &math(\phi=-\int \bm E\cdot d\bm r);

「電位」ならば一周すればゼロになるはずだが・・・

「電位」は静電場でしか定義されないから、ここでは考えてはいけない。
「動電磁場」では「ベクトルポテンシャル」や「スカラーポテンシャル」の出番。

上記はあくまで「起電力」である。

* コイルが無くても [#v7faee54]

実はコイルが無くても、いたるところに電場は発生している!
- コイルがなければ抵抗が無限大なので電流は流れない
- コイルがあれば抵抗に応じた電流が流れる

* 磁束? [#c543bb63]

#ref(電磁気学/電磁ポテンシャルの導入/ベクトルポテンシャル.png,right,around,33%);

「コイルを貫く磁束」は常に定義可能だろうか?

実は、コイルを表す閉曲線 &math(C); に対して、&math(C); を&ruby(ふち){縁};とする2つの曲面 &math(S_1,S_2); 
を考えれば、両者を貫く磁束は常に等しくなる。

  &math(N_C=\int_{S_1}\bm B\cdot\bm ndS=\int_{S_2}\bm B\cdot\bm ndS);

なぜなら、&math(S_1,S_2); をつなげた閉曲面 &math(S=S_1-S_2); およびその中の体積 &math(V); を考えれば、

  &math(
&\int_{S_1}\bm B\cdot\bm ndS-\int_{S_2}\bm B\cdot\bm ndS\\
&=\int_S\bm B\cdot\bm ndS\\
&=\int_V\DIV\bm Bd^3x\\
&=0
);

であるためだ。最後に &math(\DIV \bm B=0); を用いた。

&math(\DIV \bm B=0); であるため、磁力線は途中で途切れることなく、常にループを描く。
したがって、もし磁力線が &math(S_1); を貫くようであれば、それは必ず &math(S_2); も貫くわけである。

以上から、磁束の値は縁の形状 &math(C); のみにより定義され、磁束を積分する面の取り方に依らないことが分かった。

* Faraday の法則(積分形) [#i8f6d08f]

起電力及び磁束を積分で書けば、次式を得る。

  &math(
\underbrace{\oint_C \bm E\cdot d\bm r}_{\phi}&=-\frac{d}{dt}\underbrace{\int_S\bm B\cdot\bm n dS}_{N}
);

* Faraday の法則(微分形) [#r4c21326]

左辺に [[Stokes の定理>電磁気学/Stokes の定理]] を適用すれば、

  &math(
\int_S \rot\bm E\cdot \bm n\,dS&=-\int_S\frac{\PD\bm B}{\PD t}\cdot\bm n dS\\
);

&math(S); は任意に取れるため、

  &math(
\rot\bm E=-\frac{\PD\bm B}{\PD t}
);

この式を見て、「&math(\bm E); を一周積分した起電力が磁束の時間変化に等しい」と読めるように復習しておくこと。

* 質問・コメント [#ta49f604]

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