電磁気学/Faraday の電磁誘導のバックアップ差分(No.5)

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[[電磁気学]]

* 目次 [#q7ae2661]

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#contents
&katex();

* §１−４ Faraday (ファラデー) の電磁誘導 [#c80794c2]

電磁誘導：磁束の変化で「起電力」が生じる
#ref(faraday.png,around,right,25%);

磁束 &math(N=\underbrace{B}_{磁束密度}\cdot \underbrace{S}_{面積});
電磁誘導 = 磁束の変化が起電力を生じる

起電力 &math(\phi=IR=-\frac{dN}{dt});
$$
\underbrace{\phi\vphantom{\frac00}}_\text{起電力}=-\frac{d}{dt}\underbrace{N\vphantom{\frac00}}_\text{磁束}
$$

すなわち、誘導電流は、
- 磁束の時間変化に比例
- 抵抗に反比例
磁束は磁力線の本数のことである。

* 起電力 ＝ 電位？ [#p26a3df7]
$$
\underbrace{N}_\text{磁束}=\underbrace{B}_\text{磁束密度}\cdot \underbrace{S}_\text{面積}
$$

起電力 &math(\phi=\oint_C \bm E\cdot d\bm r);
起電力は経路に沿って電場を積分したもの。
この場合は回路に沿った閉ループ $C$ が経路となる。

これは「電位」とは違う？
$$
\phi=\oint_C \bm E\cdot d\bm r
$$

電位 &math(\phi=-\int \bm E\cdot d\bm r);
回路が複数巻きのコイルである場合には、磁束及び起電力の式に「巻き数$\,n\,$」を乗じる。

「電位」ならば一周すればゼロになるはずだが・・・
* 起電力 ＝ 電位？ [#p26a3df7]

「電位」は静電場でしか定義されないから、ここでは考えてはいけない。
次のような疑問が生じるかもしれない。
- 「電位」も電場を線積分したものではなかったか？
- 「起電力」は「電位」とは違うのか？
- 「電位」ならば一周して戻ってくればゼロになるはずだが、電磁誘導の法則はゼロにならないと言っている？！

後にしっかり学ぶように、「電位」は静電場でしか定義されないからここでは考えてはいけない。

「動電磁場」では「ベクトルポテンシャル」や「スカラーポテンシャル」の出番。

上記はあくまで「起電力」である。

* コイルが無くても [#v7faee54]

実はコイルが無くても、いたるところに電場は発生している！
実はコイルが無くても、変動する磁場の周囲には電場が発生している！
- そこにコイルがあれば抵抗に応じた電流が流れる
- コイルがなければ抵抗が無限大なので電流は流れない
- コイルがあれば抵抗に応じた電流が流れる
- 起電力も簡単には測れない
- 電場自体は測定可能

* 磁束？ [#c543bb63]

#ref(電磁気学/電磁ポテンシャルの導入/ベクトルポテンシャル.png,right,around,33%);

「コイルを貫く磁束」は常に定義可能だろうか？
「コイルを貫く磁束」は常に定義可能だろうか？$C$ が平面上にあれば良いけれど、
曲がっているような場合には「面積」はどのように取ればいいのだろう？

実は、コイルを表す閉曲線 &math(C); に対して、&math(C); を&ruby(ふち){縁};とする２つの曲面 &math(S_1,S_2); 
ここで、「磁力線は常にループになる」というのが効いてくる。

磁力線の作るループのうち、閉曲面と「からんでいるループの数」が閉曲面を貫く磁力線の本数である、とすれば「コイルを貫く磁束」は明確に定義される。

数式で表す場合には以下のように考えればよい。コイルを表す閉曲線 $C$ に対して、$C$ を&ruby(ふち){縁};とする２つの曲面 $S_1,S_2$ 
を考えれば、両者を貫く磁束は常に等しくなる。

　　&math(N_C=\int_{S_1}\bm B\cdot\bm ndS=\int_{S_2}\bm B\cdot\bm ndS);
$$
N_C=\int_{S_1}\bm B\cdot\bm ndS=\int_{S_2}\bm B\cdot\bm ndS
$$

なぜなら、&math(S_1,S_2); をつなげた閉曲面 &math(S=S_1-S_2); およびその中の体積 &math(V); を考えれば、
なぜなら、$S_1,S_2$ をつなげた閉曲面 $S=S_1-S_2$ およびその中の体積 $V$ を考えれば、

　　&math(
$$
\begin{aligned}
&\int_{S_1}\bm B\cdot\bm ndS-\int_{S_2}\bm B\cdot\bm ndS\\
&=\int_S\bm B\cdot\bm ndS\\
&=\int_V\DIV\bm Bd^3x\\
&=0
);
\end{aligned}
$$

であるためだ。最後に &math(\DIV \bm B=0); を用いた。
であるためだ。最後に $\DIV \bm B=0$ を用いた。

&math(\DIV \bm B=0); であるため、磁力線は途中で途切れることなく、常にループを描く。
したがって、もし磁力線が &math(S_1); を貫くようであれば、それは必ず &math(S_2); も貫くわけである。
磁力線は途中で途切れることなく常にループを描くから、
もし磁力線が $S_1$ を貫くけば、それは必ず $S_2$ も貫くのである。

以上から、磁束の値は縁の形状 &math(C); のみにより定義され、磁束を積分する面の取り方に依らないことが分かった。
以上から、磁束の値は縁の形状 $C$ のみにより定義され、磁束を積分する面の取り方に依らないことが分かった。

* Faraday の法則（積分形） [#i8f6d08f]

起電力及び磁束を積分で書けば、次式を得る。

　　&math(
\underbrace{\oint_C \bm E\cdot d\bm r}_{\phi}&=-\frac{d}{dt}\underbrace{\int_S\bm B\cdot\bm n dS}_{N}
);
$$
\underbrace{\oint_C \bm E\cdot d\bm r}_{\phi}=-\frac{d}{dt}\underbrace{\int_S\bm B\cdot\bm n dS}_{N}
$$

* Faraday の法則（微分形） [#r4c21326]

左辺に [[Stokes の定理>電磁気学/Stokes の定理]] を適用すれば、

　　&math(
\int_S \rot\bm E\cdot \bm n\,dS&=-\int_S\frac{\PD\bm B}{\PD t}\cdot\bm n dS\\
);
$$
\int_S \rot\bm E\cdot \bm n\,dS=-\int_S\frac{\PD\bm B}{\PD t}\cdot\bm n\,dS
$$

&math(S); は任意に取れるため、
$S$ は任意に取れるため、

　　&math(
\rot\bm E=-\frac{\PD\bm B}{\PD t}
);
$$
\rot\bm E(\bm x,t)=-\frac{\PD}{\PD t}\bm B(\bm x,t)
$$

この式を見て、「&math(\bm E); を一周積分した起電力が磁束の時間変化に等しい」と読めるように復習しておくこと。
この式を見て、「$\bm E$ を一周積分した起電力が磁束の時間変化に等しい」と読めるように復習しておくこと。

* 質問・コメント [#ta49f604]

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