8-9 不純物による電子散乱 †
不純物散乱ポテンシャル項 †
不純物による電子散乱が次のような性質を持つとする。
- 散乱により運動量が変化する
- 弾性的つまりエネルギーを変化させない
- 空間上の同じ点のみで作用するδ関数型である
これを表すポテンシャルは、
(8.106)
(8.106A)
として、位置
に体積
高さ
のポテンシャルピークを作る不純物が存在して、
その場所の電子密度に比例するエネルギーを与えるものとする。
は不純物の数であり、個々の不純物は
のラベルで区別する。
(教科書では impurity の頭文字は立体の
で、
ラベル付けは斜体の
で書かれているのだけれど、
紛らわしいので
にした・・・
その結果、波数と紛らわしいという話も。)
ポテンシャルの値からエネルギーの平均値をあらかじめ引いておくことで
そのフーリエ成分の
の成分をゼロにしておくと、
後に便利である。(この性質は後で多用される)
(8.107)
に注意せよ。
交換関係 †
(8.24) あたりで行ったのと同様にして交換子を計算できる。
(8.108)
不純物散乱を考慮した経路表示 Green 関数 †
この
に対する Green 関数
は (8.105) より、
(8.109)
最後の行は (8.105) で指摘したとおり、
が
上にある場合を考える必要がないという点を反映している。
次元について:
- Green 関数は元々
すなわち電子数密度 = (1/体積) と (1/角運動量) の積の次元を持つ。
- したがって
は (エネルギーの逆数) の次元
-
は (エネルギー) の次元
- したがって、
で無次元
- それらを除くと左辺・右辺共に Green 関数の次元となり、正しい
lesser Green 関数 G< †
(8.66) および (8.105) より、
(8.110)
となる。
2行目は
に関する積分範囲を、
全体ではなく
と考えられることを利用した。
(
を除いてある)
ここで、(8.70)〜(8.73) を用いて、
より、
(8.111)
greater Green 関数 G> †
同様にして、
(8.112)
retarded Green 関数 Gr †
(8.113)
advanced Green 関数 Ga †
ここで (8.38) より
および
なので、
-
-
を用いた。
および
がそれぞれ閉じた方程式を満たすことはよく知られた事実。
省略形 †
以上を省略形にまとめると、
G+- のような記法について †
(9/12 追記) 以下は細かい部分で間違ってるかも。なんとなく概念だけ。
セミナーで
のような記法を教わった。
、
と考えると、
(8.56), (8.57), (8.68) は、
と書くのが直感的である。
これを使うと、(8.110) は
となって、積分の部分をうまく評価できれば、
となる。
同様に他の
についても式を作ると、(8.115) に相当する式を
なる行列に対する1つの方程式として分かりやすく書けるとのことであった。