スピントロニクス理論の基礎/9-3

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9-3 拡散型因子 †

\rho や \bm j に現われた \frac{1}{Dq^2+i\Omega} という因子は、 低エネルギー＆長波長の極限で発散する。と教科書に書いてあるが、(9.56)〜(9.58) を教科書の形ではなく スピントロニクス理論の基礎/9-2#wea394fb のようにまとめれば、 その極限で単純に発散するわけでないようにも思える。

というのは置いておいて、(9.58) を変形すると以下の様に表せる。

(9.61)

\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) &= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ i\Omega }{Dq^2+i\Omega} \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \int d^3r'\int_{-\infty}^\infty dt' \underbrace{\delta(\bm r'-\bm r)\delta(t'-t)}\, \left[ \sum_{\bm q} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r'} e^{i\Omega t'} \ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ i\Omega }{Dq^2+i\Omega} \right] \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \int d^3r'\int_{-\infty}^\infty dt' \overbrace{ \frac{1}{V}\sum_{\bm q'}e^{-i\bm q'\cdot(\bm r-\bm r')} \int\frac{d\Omega'}{2\pi}e^{i\Omega'(t-t')} } \ \left[ \sum_{\bm q} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r'} e^{i\Omega t'} \ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ i\Omega }{Dq^2+i\Omega} \right] \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3V}} \sum_{\bm q'}e^{-i\bm q'\cdot\bm r} \int\frac{d\Omega'}{2\pi}e^{i\Omega't} \ \Bigg[ \sum_{\bm q} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\Omega}{2\pi} \, \underbrace{\int d^3r'e^{-i(\bm q-\bm q')\cdot \bm r'}}_{\propto \, \delta_{\bm q\bm q'}} \ \underbrace{\int_{-\infty}^\infty dt' e^{i(\Omega-\Omega') t'} }_{\propto \, \delta(\Omega-\Omega')} \ \phi(\bm q,\Omega) \underbrace{\frac{ i\Omega }{Dq^2+i\Omega}} \Bigg] \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \int d^3r'\int_{-\infty}^\infty dt' \left[ \frac{1}{\red{V}}\sum_{\bm q'} \int\frac{d\Omega'}{2\pi} \, e^{-i\bm q'\cdot(\bm r-\bm r')}e^{i\Omega'(t-t')} \overbrace{\frac{ 1 }{Dq'^2+i\Omega'}\phantom{\bigg|}} \right] \left[ \sum_{\bm q} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r'} i\Omega e^{i\Omega t'} \ \phi(\bm q,\Omega) \right] \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \int d^3r'\int_{-\infty}^\infty dt' D(\bm r-\bm r',t-t')\frac{\PD}{\PD t'}\phi(\bm r',t')

教科書で負号が現われる理由が分からない？

ここで、

(9.62)

D(\bm r,t) \equiv \frac{1}{\red{V}}\sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot\bm r}e^{i\Omega t} \frac{ 1 }{Dq^2+i\Omega}

であり、 D(\bm r,t) は

(9.64)

\left(\frac{\PD}{\PD t}-D\nabla^2\right)D(\bm r,t) &= \frac{1}{\red{V}}\sum_{\bm q} \int\frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{i\Omega t} \frac{ Dq^2 + i\Omega }{Dq^2+i\Omega} \\&= \frac{1}{\red{V}}\sum_{\bm q} e^{-i\bm q\cdot\bm r} \times \int\frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{i\Omega t} \\&= \delta(\bm r-\bm r')\delta(t-t')

で定義される拡散型の微分方程式の Green 関数になっている。

したがって、

(9.65)

\left(\frac{\PD}{\PD t}-D\nabla^2\right)\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) &= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \int d^3r'\int_{-\infty}^\infty dt' \left(\frac{\PD}{\PD t}-D\nabla^2\right) D(\bm r-\bm r',t-t')\frac{\PD}{\PD t'}\phi(\bm r',t') \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \int d^3r'\int_{-\infty}^\infty dt' \delta(\bm r-\bm r')\delta(t-t')\frac{\PD}{\PD t'}\phi(\bm r',t') \\&= \red{+}\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}}\frac{\PD}{\PD t}\phi(\bm r,t)

となって、電荷密度 \rho_\phi^{(D)} はポテンシャルの時間変化により生み出されている。

ええと・・・変化の方法を考えると、教科書の通り負号が付いている方が正しい気がする？？？

いや 9-2 の内容を入れて確認すると、この負号で正しいみたいだ。 (9.55) や (9.56)、(9.60) を使うと、

\left(\frac{\PD}{\PD t}-D\nabla^2\right)\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) &= \frac{\PD}{\PD t}\Big(\rho_\phi+\frac{e^2\nu(0)}{a^3}\phi\Big)-\bm \nabla\cdot D\bm \nabla\rho_\phi^{(D)} \\&= -\bm \nabla\cdot\bm j_\phi+\frac{e^2\nu(0)}{a^3}\frac{\PD\phi}{\PD t}+\bm \nabla\cdot\bm j_\phi \\&= \frac{e^2\nu(0)}{a^3}\frac{\PD\phi}{\PD t}

・・・この式から右辺が \rho_\phi^{(D)} を生み出していると言うためには、 右辺＝ゼロの時にどうなるかを考えておかないとダメな気がする？

\left(\frac{\PD}{\PD t}-D\nabla^2\right) \int d^3k \Big[A(\bm k)e^{B(\bm k)(Dk^2t+\bm k\cdot \bm r)} \Big]&= 0

なので、こんな形の成分以外は、ポテンシャルの変化によって生み出されている、ということ？？？ よく分かっていない（汗

(9.66) は、

D(\bm r-\bm r') &\equiv \frac{1}{\red V}\sum_{\bm q} \, e^{-i\bm q\cdot(\bm r-\bm r')} \frac{1}{Dq^2} \\&= \frac{1}{D}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3} \, e^{-i\bm q\cdot(\bm r-\bm r')} \frac{1}{\,q^2\,} \\&= \frac{1}{8\pi^3D}\int dq \int qd\theta \int q\sin\theta d\varphi \, e^{-iq|\bm r-\bm r'|\cos \theta} \frac{1}{\,q^2\,} \\&= \frac{1}{4\pi^2D}\int dq \int d\theta \sin\theta \, e^{-iq|\bm r-\bm r'|\cos \theta} \\&= \frac{1}{4\pi^2D}\int dq \int d\theta \, \frac{1}{iq|\bm r-\bm r'|} \big( iq|\bm r-\bm r'|\sin \theta \big) e^{-iq|\bm r-\bm r'|\cos \theta} \\&= \frac{1}{4\pi^2D}\int dq \, \frac{1}{iq|\bm r-\bm r'|} \Big[e^{-iq|\bm r-\bm r'|\cos \theta}\Big]_0^{\pi} \\&= \frac{1}{2\pi^2D}\int dq \, \frac{1}{q|\bm r-\bm r'|} \frac{e^{iq|\bm r-\bm r'|}-e^{-iq|\bm r-\bm r'|}}{2i} \\&= \frac{1}{2\pi^2D}\int dq \, \frac{\sin \big(q|\bm r-\bm r'|\big)}{q|\bm r-\bm r'|} \\&= \frac{1}{2\pi^2D}\int \frac{dq'}{|\bm r-\bm r'|} \, \frac{\sin q'}{q'} \\&= \frac{1}{2\pi^2D} \frac{\pi}{|\bm r-\bm r'|} \, \\&= \frac{1}{\red{2}\pi D|\bm r-\bm r'|}

ではないだろうか？

関数 &math(D(\bm r,t)

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