スピントロニクス理論の基礎/X-1 Top / スピントロニクス理論の基礎 / X-1 2011-09-03 (土) 01:22:48 (4619d) 更新 印刷しないセクションを選択 目次はこちら >> スピントロニクス理論の基礎 X-1 フェルミオンの交換関係 † 数演算子 † \hat n=c^\dagger c なる演算子の固有値 k に対応する固有関数を \ket{k} とする。 \hat n\ket{k}=c^\dagger c\ket{k}=k\ket{k} \braket{k|c^\dagger c|k}=\|c\ket{k}\|^2=k より、 固有値は必ず k\ge 0 であり、さらに \|c\ket{k}\|=\sqrt k を得る。 反交換関係 † フェルミオンでは、 \{c^\dagger,c\}=c^\dagger c+cc^\dagger=1 \{c^\dagger,c^\dagger\}=2c^\dagger c^\dagger=0 \{c,c\}=2cc=0 なる反交換関係が成り立つ。 これを用いると、 &c^\dagger cc^\dagger c\ket{k}=\hat n\hat n\ket{k}=k^2\ket{k}\\ &=c^\dagger(1-c^\dagger c) c\ket{k}=(c^\dagger c-c^\dagger c^\dagger cc)\ket{k}=(c^\dagger c - 0\cdot 0)\ket{k} = \hat n\ket{k}=k\ket{k} すなわち、 k(k-1)\ket{k}=0 より \hat n の固有値 k は 0 または 1 である。 つぎに、 cc^\dagger c\ket{k}=c\hat n\ket{k}=c k \ket{k} = k c\ket{k} 一方で、 cc^\dagger c\ket{k}=(1-\hat n)c\ket{k} したがって、 (1-\hat n)c\ket{k}=k c\ket{k} \hat n c\ket{k}=(1-k)c\ket{k} これと、 \|c\ket{k}\|=\sqrt k より c\ket{k}=\sqrt k \ket{1-k} 同様に、 c^\dagger c c^\dagger\ket{k}=\hat n c^\dagger \ket{k}=(1-k)c^\dagger\ket{k} また、 \braket{k|cc^\dagger|k}=\braket{k|1-\hat n|k}=\|c^\dagger\ket{k}\|^2=1-k より \|c^\dagger\ket{k}\|=\sqrt{1-k} を使うと、 c^\dagger\ket{k}=\sqrt{1-k}\ket{1-k} したがって、 k=0,1 c\ket{k}=\sqrt k \ket{1-k} c^\dagger\ket{k}=\sqrt{1-k}\ket{1-k} が得られた。 これらを用いて具体的に書き下すと、 c\ket{0}=0 c\ket{1}=\ket{0} c^\dagger\ket{0}=\ket{1} c^\dagger\ket{1}=0 が得られ、 c が消滅演算子、 c^\dagger が生成演算子として働くことが分かる。 質問・コメント † お名前: 題名: Counter: 4556 (from 2010/06/03), today: 5, yesterday: 3