経路積分の時間分割 †
上記のような
を定義できるとすれば、
時刻
に
にあった系が、
時刻
に
にある確率は、
途中の時刻
にいる点
を考えることで、
と表すことができる。
これを推し進めると、
時刻
に
にあった系が、
時刻
に
にある確率は、
時間を
個の区間に分割することにより、
と表せることになる。
が十分に大きく、
を十分に小さいと見なせる場合には、
その間にラグランジアン
が大きく変化することはないであろう。(そのような確率を無視して計算を進めるということで、
本当ならもう少しちゃんとした議論が必要だが、直感的には受け入れられよう。)
したがって、
と書ける。ここで
は規格化定数で、後でまた議論する。
これを代入した
により、経路積分の具体的な計算方法が判明した。
慣用的にこの積分を、
と書き表す。
シュレーディンガー方程式の導出 †
上式を用いて無限小時間後の変化を考えよう。
簡単のため、ラグランジアンとしては単純な1粒子系の物とする。
代入すると、
となり、
としたときには第1項が支配的となる。
この項は
に比べて
が大きいときには
位相の変化が激しくなって打ち消し合い、有意な寄与を与えないことから、
すなわち、
の部分だけが重要となる。
そこで、以下では
が小さいとして
の1次までを考えるが、
についてはその2次までを考えることにする。
多少技巧的ではあるが、これまで
時刻
で
にあった系が
時刻
で
にある確率を考えていた物を、
時刻
で
にあった系が
時刻
で
にある確率を考えることとして、
ここに、
の形の積分が3つ (
) 現れるが、これらはそれぞれ
と評価できて、
の時、両辺が等しくなるはずであるから、
すなわち、
として、未定だった(
依存の)係数
が決定される。
これを代入すると、
として、シュレーディンガー方程式が得られた。
一般のラグランジアンの場合にも同様の導出が可能であり、
経路積分の考え方は、
ラグランジアンおよび作用を用いた古典力学の定式化を
自然な形で量子力学へ拡張するものであることが分かる。