スピントロニクス理論の基礎/9-2

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9-2 スカラー場により誘起される電流密度†

電流密度を lesser Green 関数で表す†

(8.28) に (8.73) を代入し、(8.76) を使う

\bm j(\bm r,t) \equiv \left. -\frac{ie\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r,t)c_\mathrm H(\bm r',t)\rrangle \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r}

&= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) G^<(\bm r, t, \bm r', t) \right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= \left. -\frac{e\hbar}{2m}(\nabla_\mu^{\bm r}-\nabla_\mu^{\bm r'}) \left[ \frac{\textcolor{red}{\hbar}}{V}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^< \right]\right|_{\bm r'\rightarrow\bm r} \\ &= -\frac{ie\hbar^2}{8\pi^2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' t}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r}(\bm k+\bm k')G_{\bm k,\omega,\bm k',\omega'}^<

ここで以下の変数変換を行えば、

\bm k\rightarrow\bm k-\frac{\bm q}{2} 、 \bm k'\rightarrow\bm k+\frac{\bm q}{2}

\omega\rightarrow\omega-\frac{\Omega}{2} 、 \omega'\rightarrow\omega+\frac{\Omega}{2}

\bm j(\bm r,t) &= -\frac{ie\hbar^2}{2mV} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm q}e^{-i(\omega-\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\omega+\frac{\Omega}{2}) t}e^{i(\bm k-\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}e^{-i(\bm k+\frac{\bm q}{2})\cdot\bm r}(\bm k-\frac{\bm q}{2}+\bm k+\frac{\bm q}{2}) G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^< \\ &= -\frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} G_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2},\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}}^<

スカラーポテンシャルを反映した Green 関数を代入する†

vertex 補正無し、つまり不純物散乱のみの Green 関数を元に \phi への線形応答成分を \bm j_\phi^{(0)} とすると、

(9.4) より、

\bm j(\bm r,t) &= -\frac{i\hbar}{a^3} \int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\frac{1}{N}\sum_{\bm k,\bm q}e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\frac{e\hbar\bm k}{m} \bigg[ 2\pi\delta(\Omega)\delta_{\bm q,\bm 0}g^<_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} + \underbrace{ \textcolor{red}{e} \phi(\bm q,\Omega) \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^< }_{\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t)} +\cdots \bigg]

(9.5) と比べると、 \rho_\phi で G^< に掛かっていた e の部分を \frac{e\hbar\bm k}{m} に置き換えた形になっている。

(9.6) 以下で \sum gg などの評価をしたが、これらの評価をすべて \sum \bm k gg に置き換えて評価すればよいことになる。

\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &= -\frac{i\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \bm k \Big[ g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big]^<

主項を取り出す†

9-1 章を見直してみると、

[g_{--}g_{++}]^< =&\, \{f(+)-f(-)\}g_{--}^rg_{++}^a -f(+)g_{--}^rg_{++}^r +f(-)g_{--}^ag_{++}^a \\\sim&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big] +f(\omega)(g_{--}^ag_{++}^a-g_{--}^rg_{++}^r) \\\sim&\, \frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a -(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a) \Big] \\&\, +f(\omega)\Big[ g_{-0}^ag_{+0}^a-g_{-0}^rg_{+0}^r+ \frac{\Omega}{2}\Big\{g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a) +g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r)\Big\} \Big] \\\sim&\, \underline{\frac{\Omega}{2} f'(\omega)\Big[ 2 g_{--}^rg_{++}^a} -\underbrace{(g_{--}^rg_{++}^r+g_{--}^ag_{++}^a)}_{O(\hbar/\varepsilon_F\tau)} \Big] \\&\, +\underline{f'(\omega)\Big[ (g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^r)} +\underbrace{\frac{\hbar^2q^2}{6m}(g_{\bm k}^a{}^2-g_{\bm k}^r{}^2)}_{O(q^2/k_F^2 )} \Big] \\&\, +f(\omega)\underbrace{\frac{\Omega}{2}\Big[g_{-0}^ag_{+0}^a(g_{+0}^a-g_{-0}^a) +g_{-0}^rg_{+0}^r(g_{+0}^r-g_{-0}^r) \Big]}_{O(\hbar \Omega q^2/\varepsilon_F k_F^2)}

と変形し、下線部の２項が支配項であった。

同様にして、

\bm k[g_{--}g_{++}]^<

を評価すると、 (g^a-g^r) の項は \bm k に対する和を取る際に空間の対称性によってゼロとなり、 g_{--}^rg_{++}^a の項のみが残る。

(9.47)

\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim -\frac{i\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r}\phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\int \frac{d\omega}{2\pi} \bm k \Big[ \Omega f'(\omega) g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},\omega-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\omega+\frac{\Omega}{2}} \Big] \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{2\pi ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} i\Omega\phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{N}\sum_{\bm k} \bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},-\frac{\Omega}{2}} g_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\frac{\Omega}{2}}

Iq,Ω の評価†

\bm k についての和を \Omega の２乗となる項を除いて評価すると（外から \Omega が掛かっているので、 以下では \Omega のゼロ次で評価することになる）、

(9.48), (9.49)

\bm I_{\bm q,\Omega} \equiv&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},-\frac{\Omega}{2}}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},\frac{\Omega}{2}}^a \\\sim&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k g_{\bm k-\frac{\bm q}{2},0}^rg_{\bm k+\frac{\bm q}{2},0}^a \\=&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \Big\{ \underline{g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a} +\frac{\hbar^2\bm k}{m}\cdot\frac{\bm q}{2} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\}

下線を付けた \sum \bm kg^rg^a は空間の対称性によりゼロとなり、第２項だけが残る。

\bm I_{\bm q,\Omega} =&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}\bm k \, \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, 2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q

ちゃんと評価するなら、

I_{\bm q,\Omega}{}^i =&\, \frac{1}{N}\sum_{\bm k}k_i \Big\{ \frac{\hbar^2\bm k\cdot\bm q}{2m} (-g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a+g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} \\=&\, \frac{-\hbar^2}{2mN}\sum_{j=x,y,z}q_j\sum_{\bm k}k_ik_j (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \Big\} \\=&\, \frac{-\hbar^2}{2m}\sum_{j=x,y,z} \frac{q_j \delta_{ij} a^3}{(2\pi)^3} \iiint dk\, kd\theta\,k\sin\theta d\varphi (k\cos\theta)^2 \frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_k) (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{q_i a^3}{(2\pi)^3} \int 4\pi k^2 dk \frac{k^2}{2} \left[-\frac{1}{3}\cos^3\theta\right]_0^\pi \frac{\PD \varepsilon}{\PD k}\nu(\varepsilon_k) (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, \frac{-q_i}{3} \int d\varepsilon_k \, (\varepsilon_k+\varepsilon_F) \nu(\varepsilon_k) (g_{\bm k}^r{}^2g_{\bm k}^a-g_{\bm k}^rg_{\bm k}^a{}^2) \\=&\, \frac{-\pi i q_i}{3} \Bigg[ \frac{\D}{\D z} \bigg\{ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{-z-i\delta_\varepsilon} \bigg\} \bigg|_{z=+i\delta_\epsilon} - \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{(-z+i\delta_\varepsilon)^2} \bigg|_{z=-i\delta_\epsilon} \\& \hspace{5mm} + \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{(-z- i\delta_\varepsilon)^2} \bigg|_{z=+i\delta_\epsilon} -\frac{\D}{\D z} \bigg\{ \frac{(z+\varepsilon_F)\nu(z)}{-z+i\delta_\varepsilon} \bigg\} \bigg|_{z=-i\delta_\epsilon} \Bigg] \\=&\, \frac{-\pi i q_i}{3} \Bigg[ \bigg\{ \textcolor[gray]{0.6}{ \frac{\nu(+i\delta_\epsilon)}{-2i\delta_\varepsilon} + \frac{\varepsilon_F\nu'(+i\delta_\epsilon)}{-2i\delta_\varepsilon}} + \frac{\varepsilon_F\nu(+i\delta_\epsilon)}{(-2i\delta_\varepsilon)^2} \bigg\} + \frac{2\varepsilon_F\nu(0)}{(-2i\delta_\varepsilon)^2} \\& \hspace{9mm} - \bigg\{\textcolor[gray]{0.6}{\frac{\nu(-i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon} + \frac{\varepsilon_F\nu'(-i\delta_\varepsilon)}{2i\delta_\varepsilon}} + \frac{\varepsilon_F\nu(-i\delta_\varepsilon)}{(2i\delta_\varepsilon)^2} \bigg\} \Bigg] \\=&\, \frac{\pi i \varepsilon_F\nu(0)}{3\delta_\varepsilon{}^2} q_i = \frac{4\pi i \varepsilon_F\nu(0)\tau^2}{3\hbar^2} q_i = \frac{2\pi i \nu(0)\tau m}{\hbar^2} \left(\frac{2\tau\varepsilon_F}{3m}\right) q_i \\=&\, 2\pi\nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD q_i

この式の最後、係数を D にまとめる直前の式と (9.50) とを比べると、(9.50) が \left(\frac{\hbar}{\varepsilon_F\tau}\right)^2 だけ小さいことが一目瞭然である。

vertex 補正†

(9.49) を (9.47) に代入すれば、

(9.51)

\bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim \frac{\textcolor{red}{e^2\hbar^2}}{2\pi ma^3} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} i\Omega\phi(\bm q,\Omega) 2\pi \nu(0)\frac{\tau}{\hbar^2}imD\bm q \\&= \frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) D\bm q\cdot i\Omega \tau

(9.52), (9.53) より、vertex 補正を入れた場合に

\bm I_{\bm q,\Omega}\rightarrow \frac{1}{Dq^2\tau+i\Omega\tau}\bm I_{\bm q,\Omega}

となって、全部含めると、

(9.54)

\bm j_\phi(\bm r,t) &\sim \frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) D\bm q\cdot \frac{i\Omega \tau}{Dq^2\tau+i\Omega\tau} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2}

を得る。

電荷保存則の確認†

\frac{\PD}{\PD t}\rho(\bm r,t) &= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t} e^{-i\bm q\cdot \bm r}\ \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{ i\Omega }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}

に対して、

-\nabla \cdot \bm j_\phi(\bm r,t) &\sim \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2} \\&= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{-i\Omega}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\bm q\cdot\bm q}{q^2} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) \cdot \frac{i\Omega}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}

より、

(9.55)

\frac{\PD \rho_\phi}{\PD t}=-\nabla \cdot \bm j_\phi(\bm r,t)

が確かめられる。（電荷保存則）

vertex 補正を入れないと、電荷保存則が成り立たない†

この電荷保存則が成り立つのは vertex 補正のおかげ、と書いてあるのだが・・・ 補正がないときには、

\frac{\PD}{\PD t}\rho_\phi^{(0)}(\bm r,t)&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t} e^{-i\bm q\cdot \bm r}\ \phi(\bm q,\Omega) i\Omega \cdot \left[ 1- i\Omega\tau\cdot n_iv_i^2I_{\bm q,\Omega} \right]

-\nabla \cdot \bm j_\phi^{(0)}(\bm r,t) &\sim -\frac{\textcolor{red}{ie^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) Di\bm q\cdot \bm q\times i\Omega \tau \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi} e^{i\Omega t}e^{-i\bm q\cdot\bm r} \phi(\bm q,\Omega) i\Omega \cdot Dq^2 \tau

となって、確かに両者は一致しない。

vertex 補正による係数が \rho では一部分に、 \bm j では全体に掛かることにより、これらが一致するよう補正が掛かる。

局所的な成分と非局所的な成分†

(9.45) を変形して、 \phi に直接比例する成分（局所的な成分）と、 それ以外（非局所的な成分）に分離できる。

(9.56)

\rho_\phi(\bm r,t) &= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ 1 }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \left( 1- \frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \right) \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)\phi(\bm r,t)}{a^3} +\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{a^3} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \\&\equiv -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)\phi(\bm r,t)}{a^3} +\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)

(9.54) を変形して、 \bm\nabla\phi に直接比例する成分（局所的な成分）と、 それ以外（非局所的な成分）に分離できる。

(9.57)

\bm j_\phi(\bm r,t) &\sim -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\, e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\ \frac{\Omega\bm q}{q^2} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\, e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \left(\frac{i\frac{\Omega}{Dq^2}}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\right)(-i\bm q)D \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\, e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \left(1-\frac{1}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}\right)(-i\bm q)D \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)D}{\textcolor{red}{a^3}}\bm \nabla\phi(\bm r,t) +\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\, e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{-iD\bm q}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \\&\equiv -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)D}{\textcolor{red}{a^3}}\bm \nabla\phi(\bm r,t) +\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)

上で出てきた、 \rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) および \bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t) は、次の通りである。

(9.58)

\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)\equiv \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ i\frac{\Omega}{Dq^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}

(9.59)

\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)\equiv \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q}\int \frac{d\Omega}{2\pi}\, e^{-i\bm q\cdot\bm r} e^{\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{-iD\bm q}{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}}

オーミック電流と拡散電流 j(D)†

電流密度 \bm j が電界すなわち電位の勾配 \bm E=-\bm \nabla \phi に比例するというのがオームの法則であるから、(9.57) の第１項はオーミックな電流である。

\bm j=\sigma \bm E=-\sigma \bm \nabla \phi

と比較すると、コンダクタンスを

\sigma=\frac{e^2\nu(0)D}{a^3}

と書ける。

これに対し、第２項は電荷密度の勾配に比例する拡散項になっている。

-D\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) &= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ -iD\bm q }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \\&= \bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)

ここから、拡散電流 \bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t) は全電荷の偏りを打ち消す方向 -\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) に流れていること、 D が拡散係数であること、を確認できる。

全電流と非局所的電荷†

(9.57) と (9.58) を見比べると、

(9.60)

-D\bm \nabla\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) &= \frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, (-i\bm q )e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ -i\frac{\Omega}{q^2} }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \\&= -\frac{\textcolor{red}{e^2}\nu(0)}{\textcolor{red}{a^3}} \sum_{\bm q} \int \frac{d\Omega}{2\pi} \, e^{-i\bm q\cdot \bm r} e^{i\Omega t}\ \phi(\bm q,\Omega) \frac{ 1 }{1+i\frac{\Omega}{Dq^2}} \frac{\Omega \bm q }{q^2} \\&= \bm j_\phi(\bm r,t)

が成り立つことが分かる。

すなわち、電流密度は電荷の非局所成分の勾配を打ち消すように流れることが分かる。

上記の２つの式、両方成り立つことから何が言えるだろう？

-D\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) =\bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)

-D\bm \nabla\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t) = \bm j_\phi(\bm r,t)

を合わせると、

-D\bm \nabla \rho_\phi(\bm r,t) = -D\bm \nabla \big(\rho_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t)+\rho_\phi^{(D)}(\bm r,t)\big) =-D\bm \nabla \rho_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t) + \bm j_\phi(\bm r,t) = \bm j_\phi^{(D)}(\bm r,t)\\

すなわち、

D\bm \nabla \rho_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t) = \bm j_\phi^{(\Omega)}(\bm r,t)

あれ、負号が逆になる？？？

オーミックな成分と拡散成分と、なんだか不思議な関係がありそうだけど、 まだ全体像が見えていない。

質問・コメント†




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