ベクトル空間と線形写像

ベクトルとは？†

• 数ベクトル(縦)：$\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$
• 数ベクトル(横)：$\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}$
• 幾何ベクトル：$\overrightarrow{\rm AB}$
• そのほかにも様々なものをベクトルと見なせる

直交座標の成分表示で幾何ベクトルを数ベクトルと１対１に対応させられる。

ベクトル空間とベクトル†

$n$ 次元数ベクトルのように、

• $k\bm a$ (スカラー倍)
• $\bm a+\bm b$ (和)

が内部で定義されている集合を「ベクトル空間」と言い、
その要素を「ベクトル」と言う。

詳しい定義は線形代数学IIで学ぶことになる。

$n$ 次元数ベクトル空間†

• 実数の集合を $\mathbb{R}$
• $n$ 次元（縦）実数ベクトル空間を $\mathbb{R}^n$

と書くことにする。

以下では主に実数ベクトル空間について学ぶが、これらを

• 複素数の集合 $\mathbb C$
• $n$ 次元複素数の集合 $\mathbb C^n$

に置き換えても、(ほぼ)すべての定理が成立することに注意せよ。*1内積が絡んでくると違いが出る

１次結合（線形結合）†

ベクトル $\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r$ に適当な係数をかけて足し合わせた、

$$c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \sum_{k=1}^r c_k\bm a_k$$

の形を $\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r$ の「一次結合」と言う。

例１：

$\bm a, \bm b$ の一次結合： $3\bm a+\bm b$, $\bm a-\bm b$, $-2\bm a$

例２：

$\bm b$ を $\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r$ の一次結合で表せるか？という問題は、

$\bm b=x_1\bm a_1+x_2 \bm a_2+ \dots+x_r \bm a_r = \Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_r\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{bmatrix}=A\bm x$

を満たす $\bm x$ は存在するか？という問題と同値である。

例３：

任意のベクトル $\bm a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}\in \mathbb R^n$ は、 基本ベクトル $ \bm e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \bm e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \dots, \bm e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix} $ の一次結合として、

$$\bm a=\sum_{k=1}^ra_k\bm e_k$$

と表せる。これを「成分表示」と呼ぶ。

一次結合により生成される空間†

この項はかなり厳密性を欠く議論になっている。
ベクトル空間の詳細や次元の概念については線形代数IIで詳しく学ぶ。

一次独立†

「$\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r$ が１次独立である」とは、 $c_1\bm a_1+c_2 \bm a_2+ \dots+c_r \bm a_r = \bm o$ となるのが、$c_1=c_2=\dots=c_n=0$ の時しかありえない、 という性質である。

• どんなベクトルが与えられても $c_1=c_2=\dots=c_n=0$ なら条件を満たすこと
• 与えられたベクトルによっては $c_1=c_2=\dots=c_n=0$ でなくても条件を満たすこと

に注意せよ。

例： $2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\bm o$

「張る空間」との関係：

• $n$ 本のベクトルが一次独立であれば、それらは $n$ 次元を張る
• 一次独立でなければ、張られる空間は $n$ 次元未満になる（上の「例外」に相当）

一次従属†

一次独立でないことを「一次従属である」と言う。

例：$\bm a,\bm b,\bm c$ は一次独立か、一次従属か？

例：$\bm a,\bm b,\bm c$ が一次従属であるとき・・・

一次独立と行列の階数†

$\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n$ は一次独立である、というのと、

$\Bigg[\bm a_1\ \bm a_2\ \dots\ \bm a_n\Bigg]\bm x=\bm o$ の解は $\bm x=\bm o$ しか存在しない、というのは書き方を変えただけで同じ意味である。

後者の方程式において $\bm x=\bm o$ は必ず解になるから、その一般解は

• $\bm x=\bm o$ のみ
• $\bm x=a\bm x_1+b\bm x_2+\dots$ のようにパラメータを含む

のどちらかである。

したがって、
与えられたベクトルが一次従属である、という条件と
上の方程式の一般解が１以上の自由度（パラメータの数）を持つ、という条件は同値である。

さらに、

• $\mathrm{rank}$：掃き出せた列の数
• 解の自由度：掃き出せなかった列の数

であったことを思い出そう。すなわち、

（解の自由度） ＝ （$A$ の列数）−（$\mathrm{rank}\, A$）

であるから、

• $\bm a_1, \bm a_2, \dots, \bm a_r$ が一次独立
• 方程式 $A\bm x=\bm o$ の解の自由度がゼロ
• $A$ の階数が列の数 $n$ （ベクトルの本数）と等しい $(\mathrm{rank}\, A=n)$

が同値な条件となる。

与えられたベクトルが一次独立かどうかを調べるには、 ベクトルを並べて作った行列の $\mathrm{rank}$ を求め、ベクトルの数と等しいかどうか見ればよい。
↑これが言いたかったこと

例： $\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\2\\a\end{bmatrix}$ が一次独立になる条件を求めよ。

$\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&a\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&-3&-2\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&-2&a-4\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&-2a+6\\0&0&-3a+8\end{bmatrix}$

したがって、$a=8/3$ の時に一次従属であり、そうでなければ一次独立となる。

$A$ が正方の時†

以下の条件は同値である。

• $\bm a_1,\bm a_2, \dots,\bm a_n$ が一次独立
• $A\bm x=\bm o$ の解が $\bm x=\bm o$ のみ
• $\mathrm{rank}\, A=n$
• $A$ が正則
• $|A|\ne 0$

一次独立かどうかを調べるには $|A|$ を計算すればよい。

一次独立の重要な性質†

● ゼロベクトルを１つでも含めば一次従属

● $\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n$ が一次従属なら、そこにいくつかベクトルを加えた $\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n,\bm a_{n+1},\dots,\bm a_{m}$ も一次従属である

∵はじめの $n$ 列のうち１列でも掃き出せなければ、 全体の $\mathrm{rank}$ が列数よりも小さくなるため。

（別）$c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n=\bm o$ となる非ゼロの係数が存在するなら、
$c_1\bm a_1+c_2\bm a_2+\dots+c_n\bm a_n+0c_{n+1}+\dots+0c_m=\bm o$ であり、 この係数は全てがゼロではないから、全体も一次従属となる。

● $\{\bm a_1,\bm a_2,\dots,\bm a_n\}$ が一次独立なら その部分集合も一次独立である

∵上の定理の対偶になっている

● $n$ 次元ベクトルを $n+1$ 本以上集めたら必ず一次従属になる

∵対応する行列 $A$ のランクは行数 $n$ より大きくならないから。

● 一次独立と「張る空間」

• $n$ 本のベクトルが一次独立ならば、その一次結合は $n$ 次元空間を張る
• 一般には $\mathrm{rank}\, A$ と等しい次元の空間を張る
  → 一次従属なら次元が $n$ より小さくなる

線形空間（ベクトル空間）†

線形代数IIで詳しく学ぶ。線形代数Ｉでは上で扱った程度にとどめる。

写像†

$\bm a\in \mathbb R^n$ を与えると $\bm a'\in \mathbb R^m$ を返すような関数 $f:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m$ を考える。

すなわち $\bm a'=f(\bm a)$

$f$ は様々な物が考えられるが、任意の $\bm a\in \mathbb R^n$ に対して、 必ず１つだけ $\bm a'$ が決まることが重要である。

このように、ある集合 $V$ の任意の元 $\bm x$ に対して集合 $W$ の元を１つ $f(\bm x)\in W$ 対応させるような演算規則 $f$ のことを集合 $V$ から集合 $W$ への写像と呼び $f:V\to W$ と書く。 $\bm x$ を $f(\bm x)$ に対応させることを強調するときは $f:\bm x\mapsto f(\bm x)$ とも書く（矢印の形が異なることに注意）。

例：

$\bm a=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\in \mathbb R^2$, $\bm a'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}\in \mathbb R^3$ の時、例えば

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=f(\bm a)=\begin{bmatrix}2+x\sin y\\2^y\\-1\end{bmatrix}$

として定義される $f$ は、$x,y$ を１組決めれば $x',y',z'$ が決まるため、$\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^3$ の写像となる。

線形写像†

ある写像 $f$ が線形であるとは、任意の $\bm a, \bm b\in \mathbb R^n$ および $c\in \mathbb R$ に対して、

• $f(\bm a+\bm b)=f(\bm a)+f(\bm b)$
• $f(c\bm a)=cf(\bm a)$

が成り立つことを言う。

すぐ分かるように $f$ が線形なら

• $f(\bm o)=\bm o$
  $\because f(\bm o)=f(0\bm o)=0f(\bm o)=\bm o$
• $f(-\bm a)=-f(\bm a)$

となる。

• $f$ がベクトルの次元を変えないとき、すなわち $\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^n$ のとき、線形変換（一次変換）と呼ぶこともある

線形写像は $f(\bm x)=A\bm x$ の形に書ける†

スカラー関数 $f(x)$ が線形ならば、 $f(x)=f(x\cdot 1)=xf(1)=f(1)x$ であるから、 $f(1)=A$ と置くことで $f(x)=Ax$ の形に書けることが分かる。

同様に、$f(\bm x)$ が線形なら、ある行列 $A$ を用いて $f(\bm x)=A\bm x$ と書ける。

∵ 任意のベクトル $\bm x$ を

$$\bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i$$

として基本ベクトルの一次結合で表せば、

$$f(\bm x)=f(\sum_{i=1}^nx_i\bm e_i)=\sum_{i=1}^nx_if(\bm e_i)$$

そこで、$\bm a_i=f(\bm e_i)\in \mathbb R^m$ と置けばこれは定数ベクトルである。 これを並べて $A$ を作れば、

$$f(\bm x)=\sum_{i=1}^nx_i\bm a_i=\Bigg[\begin{matrix}\bm a_1&\bm a_2&\cdots&\bm a_n\end{matrix}\Bigg]\bm x=A\bm x$$

となる。また逆に $f(\bm x)=A\bm x$ と書ければこれは必ず線形となる。

• $A$ を $f$ の表現行列と呼ぶ
• $f(\bm x)=A\bm x$ を $A$ の定める線形写像と呼ぶ

例：

次の条件を満たす線形写像 $f(\bm x)$ の表現行列を求めよ。

$f\left(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}$、 $f\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$

(解答)

$\left\{\begin{matrix}A\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\\A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\end{matrix}\right.$

より、

$A\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}^{-1}$ $=\frac{1}{3\cdot 1-1\cdot 2}\begin{bmatrix}-1&4\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-2&3\end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix}-9&13\\-1&3\end{bmatrix}$

合成写像†

$f(\bm x):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m$

$g(\bm y):\mathbb R^m\rightarrow\mathbb R^l$

のとき、その合成写像を定義できる。

$h(\bm x)=g\!\circ\!f(\bm x)=g\left(f(\bm x)\right):\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^l$

（$h=g\!\circ\!f$ などと書く）

その表現行列は、

$f(\bm x)=A\bm x,g(\bm y)=B\bm y$ であれば、 $g\!\circ\!f(\bm x)=BA\bm x$ より $BA$ である。

例：

２次元ベクトル $\bm x\in \mathbb R^2$ をｘ座標方向に３倍してから 反時計回りに４５度回転する線形写像を考える。

ｘ方向に３倍する：$f(\bm x)=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x$

４５度回転する：$g(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x$

合成すると、

$g\!\circ\!f(\bm x)=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}\bm x=\begin{bmatrix}3/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}\\3/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}\end{bmatrix}\bm x$

線形代数とは†

もともと線形代数とは線形写像を扱うための学問である。

「線形」の定義には和とスカラー倍が定義されている集合つまり線形空間が必要で、その要素をベクトルと呼ぶ。

コメント†