線形代数II/内積と計量空間

目次†

本授業で採用している内積の公理はかけ算の順番が一般的な物と異なるため注意せよ。

内積†

上の線形空間 に「内積」を定義しよう。

内積は の任意の２つの元 から 1つの の元を求める演算 で、次の公理を満たすものである。

4. かつ

このとき、以下の定理を証明可能である。

すなわち、上記の公理を満たす任意の「内積」は、 これまで我々が慣れ親しんできた内積とよく似た性質を持つことが保障される。

• の時は

• 
  　　　∵1. と 3. より

• 
  　　　∵2. と 3. より

• 任意の に対して
  　　　∵ および 3.

• ノルム を定義可能
  　　　∵4. より
  　　　　→ 絶対値と区別するため でなく と書く*1例えば関数ベクトルのノルム と関数値の絶対値 とを区別する場面がありうるため

• シュワルツの不等式が成り立つ
  　　　 あるいは
  　　　∵4. より任意の に対して
  　　　　
  　　　　判別式はゼロまたは負であり
  　　　　ここで と取れば与式を得る*2シュワルツの不等式で等号が成り立つとき、ある複素数値 に対して となる。すなわち である。この逆も証明可能。

• 三角不等式が成り立つ
  　　　∵シュワルツの不等式を使って
  　　　　 *3三角不等式で等号が成り立つとき左辺はゼロとなり、シュワルツの不等式でも等号が成り立つため 。この逆も証明可能。

• 実ベクトルでは２つのベクトルの間の角度 を定義可能
  　　　

• 複素ベクトルにおいてもベクトルの直交を定義可能
  　　　
  　　　→ は任意のベクトルと直交する

内積を定義することにより、ベクトルの大きさ(ノルム)および直交性が線形空間に導入される。

そのような、「内積が定義された線形空間」のことを計量線形空間という。

正規直交系†

が

• 正規性： つまり
• 直交性： つまり ( )

を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、

とも書ける。ここで、

はクロネッカーのデルタである。

数ベクトルの内積†

正規直交基底に対する内積の成分表示†

ある内積の下で $E=\langle \bm e_1,\bm e_2,\dots,\bm e_n\rangle$ が正規直交基底であるとする。

基底 $E$ に対するベクトル $\bm x,\bm y$ の表現を $\bm x_E={}^t\!(x_1\ x_2\ \dots\ x_n)$, $\bm y_E={}^t\!(y_1\ y_2\ \dots\ y_n)$ とすれば、 $\bm x=\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i$, $\bm y=\sum_{i=1}^n y_i\bm e_i$ であるから、

$$\begin{aligned} (\bm x,\bm y)&=\Big(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y\Big)\\ &=\sum_{i=1}^n\overline x_i\Big(\bm e_i, \sum_{j=1}^n y_j\bm e_j\Big)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\ &=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i\\ &={}^t\overline{\bm x_E}\bm y_E \end{aligned}$$

を得る。

すなわち、正規直交基底に対する内積の成分表示 は 「標準内積」 となる

逆に、正規直交ではない基底を用いると内積の数値表現が複雑になるため、 計量空間に基底を取るときには通常正規直交基底を選ぶ（便利だから）。

行列のエルミート共役†

標準内積を、

$$ (\bm x,\bm y)=\sum_{k=1}^n\overline{x_k}y_k=\overline{{}^t\bm x}\bm y $$

と表せることに注意しよう。ここで、$\overline{{}^t\bm x}$ は縦ベクトル $\bm x$ の「転置の複素共役」であるが、これを

$$ \overline{{}^t\!A}=A^\dagger $$

と書き、行列 $A$ のエルミート共役と呼ぶことにする。

エルミート共役は、次の性質を持つ。

• $\left(A^\dagger\right)^\dagger=A$
• $(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$　　転置行列と同じ → ${}^t\!(AB)={}^t\!B{}^t\!A$
• $(\bm x,\bm y)=\bm x^\dagger \bm y$
• $(\bm x,A\bm y)=\bm x^\dagger A\bm y=(A^\dagger \bm x)^\dagger\bm y=(A^\dagger\bm x,\bm y)$

エルミート共役 $A^\dagger$ を $A$ の随伴行列とも呼ぶ。

質問・コメント†