線形代数II/前半の復習

(52d) 更新


前半の復習と後半の展望

線形代数とは?

「関数 $f(\cdot)$ が線形である」とは、

$$ \begin{cases} f(x+y)=f(x)+f(y)\\ f(ax)=af(x)\\ \end{cases} $$

を満たすことを言うのだった。これは、和とスカラー倍とをまとめて

$$ f(ax+by)=af(x)+bf(y) $$

と書いても同じこと。

$f$ の括弧を省いて書くと、線形な関数 $f$ の適用に「積」のような演算法則(分配法則、交換法則)が成り立つこととも理解できる。

$$ \begin{cases} f(x+y)=fx+fy\\ fax=afx\\ \end{cases} $$

例えば $n$ 次元実数ベクトルを与えると、そこに $n$ 行 $m$ 列の実行列 $A$ をかけて返す演算 $f:\bm x\mapsto A\bm x$ は $f:R^n\to R^m$ なる写像を定義する。任意の $\bm x,\bm y\in R^n$ および定数 $a,b\in R$ に対して

$$ A(a\bm x+b\bm y)=aA\bm x+bA\bm y $$

より、

$$ f(a\bm x+b\bm y)=af(\bm x)+bf(\bm y) $$

が成り立つから $f(\cdot)$ は線形な演算(線形写像)である。 (逆に、数ベクトルに対する任意の線形変換を行列の掛け算の形に表せることをすでに学んだはず)

一方、$f(x)=Ax^2$ は線形性を持たない。

$$ f(ax+by)=A(ax+by)^2\ne af(x)+bf(y)=aAx^2+bAy^2 $$

「線形な演算」について考えるのが「線形代数」である。

線形空間・線形写像と数ベクトル・行列

「線形」を定義するには引数として与える $x$ や $y$ や、その変換結果の $f(x)$ や $f(y)$ に「和」と「スカラー倍」が定義されてなければならないことに気づくだろうか? これが「線形空間」を考える理由である。

線形空間とは「和とスカラー倍に対して()()()集合」のことであった。

「線形写像」は「線形な関数」を線形代数の枠組みで定義したものである。また、「線形変換」は線形写像のうち、変換元と変換先の集合が同じもののこと、変換元と変換先が異なるときを考える場合に線形写像と呼ぶのであった。($f:V\to V$ のようなものが「変換」、$f:V\to W$ は「変換」と呼ばない)

linear_approximation.png

「線形な演算」は物理学や情報理論いたるところに顔を出す。実のところ物理学では「非線形な演算」もたくさん出てくるが、たいていのケースで非線形な物理学は複雑になりすぎて解くのがとても難しい。そこで、ある点(よくあるのは平衡点)からの微小な変位を考えて、一次近似で理論を建てる。するとそこにはやはり「線形」な理論が現れて、線形代数の出番となる。

線形代数Aで学んだように、任意の $n$ 次元線形空間(和とスカラー倍が定義された集合)は $n$ 次元数ベクトル空間と「同型」であり、「基底」を使って成分表示してやることにより、数ベクトルや行列の演算に落とし込むことができるのであった。
(無限次元空間については少し注意が必要)

$K$ 上の $n$ 次元線形空間 $V$ に基底 $A=\{\bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n\}$ を定義する。

$\bm x\in V$ の基底 $A$ に対する表現 $\bm x_A\in K^n$ ($n$ 次元$K$ベクトル)は、

$$\bm x=(\bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n)\bm x_A=(\bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n)\begin{pmatrix}x_{A1}\\x_{A2}\\\vdots\\x_{An}\end{pmatrix}=\sum_{i=1}^n x_{Ai}\bm a_i$$

を満たすベクトルのことである。同様に、

 $\bm y\in V$ の表現を $\bm y_A$

 $k\bm x\in V$ の表現を $(k\bm x)_A$  $(k\in K)$

 $\bm x+\bm y\in V$ の表現を $(\bm x+\bm y)_A$

などとすると、

$$(k\bm x)_A=k\bm x_A$$

$$(\bm x+\bm y)_A=\bm x_A+\bm y_A$$

が成り立つ。線形空間 $V$ と $K^n$ とは「同型」なのである。

次に線形写像について:

線形空間 $V'$ を $V$ と同じ「$K$ 上の $m$ 次元線形空間とし、線形写像 $T:V\to V'$ を考える。

この $T$ により $\bm x$ を変換した結果を $\bm y=T\bm x\in V'$ と置くと、線形性により

$$\bm y=T\bm x=T\Big\{\sum_{i=1}^n x_{Ai}\bm a_i\Big\}=\sum_{i=1}^n x_{Ai}\,T\bm a_i$$

と表せる。$V'$ に基底 $B=\{\bm b_1,\bm b_2,\dots,\bm b_m\}$ を取れば $T\bm a_i\in V'$ の基底 $B$ に対する表現 $\big(T\bm a_i\big)_B\in K^m$ は

$$T\bm a_i=\sum_{j=1}^m\big(T\bm a_i\big)_{Bj}\bm b_j$$

を満たす。上式に代入すると、

写像の表現行列.png

$$\bm y=\sum_{i=1}^n x_{Ai}\,T\bm a_i=\sum_{j=1}^m\underbrace{\sum_{i=1}^n x_{Ai}\big(T\bm a_i\big)_{Bj}}_{\bm y_{Bj}}\bm b_j$$

したがって $\bm y$ の表現 $\bm y_B$ は、

$$y_{Bj}=\sum_{i=1}^n \big(T\bm a_i\big)_{Bj}x_{Ai} $$

を満たす。そこで、$n\times m$ 行列 $T_{BA}$ の $(i,j)$ 成分を、

$$\big(T_{BA}\big)_{ji}=\big(T\bm a_i\big)_{Bj}$$

と置けば、

$$\bm y_B=T_{BA}\bm x_A$$

と書け、任意の線形写像の適用を行列の掛け算として表現できることが分かる。

この $T_{BA}$ を線形写像 $T$ の行列表現と呼ぶ。

つまり、数ベクトルや行列を理解すれば、任意の線形空間と線形写像についてその性質を理解できるわけだ。

一般内積と標準内積

内積についても同じである。「内積」としての性質を持つ演算 $(x,y)$ を持つ $n$ 次元線形空間(計量線形空間)に「正規直交基底」を取って成分表示すると、内積は対応する $n$ 次元数ベクトル空間における標準内積として表されることになる。

$K$ 上の $n$ 次元計量空間 $V$ に正規直交基底 $A=\{\bm a_1, \bm a_2,\dots,\bm a_n\}$ を取る。

$$(\bm a_i,\bm a_j)=\delta_{ij}\hspace{1cm}\text{ただし、}\delta_{ij}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}$$

$\bm x,\bm y\in V$ の $A$ に対する表現を $\bm x_A,\bm y_A\in K^n$ とすると、

$$\begin{aligned}(\bm x,\bm y)&=\Big(\sum_{i=1}^n x_{Ai}\bm a_i\ ,\ \sum_{j=1}^n y_{Aj}\bm a_j\Big)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x^*_{Ai}\,y_{Aj}\ (\bm a_i,\bm a_j)\\&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x^*_{Ai}\,y_{Aj}\,\delta_{ij}\\&=\sum_{i=1}^n x^*_{Ai}\,y_{Ai}\\&=(\bm x_A,\bm y_A)\\\end{aligned}$$

最終行の $(\cdot,\cdot)$ は $K^n$ の標準内積である。

関数を無限次元のベクトルとして扱う

閉区間 [a,b] ただし a,b\in \mathbb R で定義された任意の複素関数を要素とする集合 U は、 通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。

すなわち、 f,g\in U のとき、

  u=f+g  を  u(x)\equiv f(x)+g(x)  として、

  v=kf  を  v(x)\equiv kf(x)  として

定義すれば、 u,v\in U であり、 U はこれらの演算に対して閉じている。 (これらの演算は「関数から関数を作る演算」であることを理解せよ)


以下に見る通り「関数」は無限次元の数ベクトルであると考えられる:

\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n のとき、

添字 k に対して a_k をプロットすれば、 「ベクトルのグラフ」を表示できる。

vector1.png

k から a_k への対応関係を1つ決めると、 それが1つのベクトルを決めることに相当する。

u(x)\in U のとき、

変数 x に対して u(x) をプロットすれば、 「関数のグラフ」を表示できる。

function.png

x から u(x) への対応関係を1つ決めると、 それが1つの関数を決めることに相当する。

関数の作るベクトル空間を「関数空間」と呼ぶ。

関数空間では和ではなく積分で内積を定義できる。

標準内積:

(\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b =\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k

少し一般化して、

(\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k

としても内積の公理を満たす。ただし w_k>0 はある決まった正の数列で、 個々の成分に付けられた重みに相当する。

標準内積:

(u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x)

少し一般化して、

(u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)

としても良い。ただし、 \rho(x)>0 は「重み関数」と呼ばれる。

関数に対する線形変換

以下のような演算はすべて線形変換になる。 (関数の微積分可能性や定義域など考え出すとややこしいがここでは目をつぶる)

ある関数を掛ける$f(x)\mapsto g(x)f(x)$
平行移動$f(x)\mapsto f(x+c)$
微分$f(x)\mapsto (d/dx)f(x)$
積分$f(x)\mapsto \int_{x_0}^{x_1} f(x+c) dx$

さまざまな関数空間

  • 無限回微分可能な関数の集合
  • ある線形演算子 $A$ に対して $Af=0$ を満たす関数の集合
    • ある線形微分方程式の解の集合など
      例:真空中の電磁波の波動方程式 $\Big[\nabla^2-\frac 1c\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big]E(\bm x)=0$ は $\big[\cdot\big]$ の部分が線形演算子
  • 和やスカラー倍で保存される境界条件を満たす関数の集合
    • $x_0$ において $f(x_0)=0$ を満たす関数の集合(固定端条件)
    • $x_0$ において $f'(x_0)=0$ を満たす関数の集合(解放端条件)
    • $x_0,x_1$ に対して $f(x_0)=f(x_1)$ を満たす関数の集合
  • 特定の周期を持つ関数の集合
    • $f(x)=f(x+c)$ を満たす関数の集合($c$ は定数)

というような形で関数の集合を定義すれば、このような集合はそれぞれが関数空間(全関数からなる空間の部分空間)となる。

すなわち、「ベクトルの和とスカラー倍に対して閉じた集合」になる。

部分空間とは「ある線形空間の部分集合でベクトルの和とスカラー倍に対して閉じたもの」:

例えば、$U$ を $K$ 上の関数空間、$A:U\to U$ を線形変換、$V=\{\bm x\in U\,|\,A\bm x=\bm 0\}$ とすると、

任意の $\bm x,\bm y\in V$, $k\in K$ に対して、

$$A(\bm x+\bm y)=A\bm x+A\bm y=\bm 0+\bm 0=\bm 0\text{ より }\bm x+\bm y\in V$$

$$Ak\bm x=kA\bm x=k\bm 0=\bm 0\text{ より }k\bm x\in V$$

すなわち、$V$ はベクトルの和とスカラー倍に対して閉じており、部分空間をなす。

応用理工では特に今後、「量子力学」の授業において様々な関数空間を考え、そこでの線形変換、内積、固有値問題等を扱うことになる。

演習問題

(1) 次のそれぞれの変換は線形か、線形でないか、理由と共に答えよ

 a) $T_1:f(x)\mapsto f(2x+1)$

 b) $T_2:f(x)\mapsto 2f(x)+1$

 c) $T_3:f(x)\mapsto (2x^2+1)f(x)$

 d) $T_4:f(x)\mapsto \frac d{dx}\{xf(x)\}$

(2) $t$ の関数の集合 $V=\{a\cos t+b\sin t\,|\,a,b\in C\}$ は通常の和とスカラー倍に対して複素数上の2次元線形空間をなす。この $V$ について以下の問いに答えよ。

 a) $A=\{\cos t,\sin t\}$ を $V$ の基底として、$\bm v=\cos(t+\theta)\in V$ の $A$ に対する表現を求めよ。

 b) $A$ を基底として、線形変換 $D:f(t)\mapsto f'(t)$ の表現 $D_A$ を求めよ。

 c) 線形変換 $D:f(t)\mapsto f'(t)$ の基底 $B=\{\cos t+i\sin t,\cos t-i\sin t\}$ に対する表現 $D_B$ を求めよ。

 d) 線形変換 $D^2:f(t)\mapsto f''(t)$ の基底 $A$ に対する表現と、基底 $B$ に対する表現をそれぞれ求めよ。

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