正規行列の対角化可能性
正規行列†
正規行列とは $A^\dagger A=A A^\dagger$ を満たす行列 $A$
ユニタリ行列により対角化可能であることと、正規行列であることとは同値である。
すなわち、
- ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列である
- 正規行列であればユニタリ行列により対角化可能である
の両方が証明可能。以下、やってみる。
復習†
エルミート共役(随伴行列) $A^\dagger$ は $\overline{{}^t\! A}$ のことで、 転置行列の複素共役。転置行列 ${}^t\!A$ の複素数版と考えると良い。
同様に、ユニタリ行列 $A^\dagger=A^{-1}$ は直交行列 ${}^t\!A=A^{-1}$ の複素数版。
ユニタリ行列により対角化可能であれば正規行列である†
$U$ をユニタリ行列 ($U^\dagger=U^{-1}$)、 $\Lambda$ を対角行列として($\Lambda$ は $\lambda$ の大文字)、
$$ U^\dagger A U=\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix} $$
が成り立つとき、$A=U\Lambda U^\dagger$ と書けるから、
$$ A^\dagger=(U\Lambda U^\dagger)^\dagger=U\Lambda^\dagger U^\dagger=U\overline{\Lambda}U^\dagger \hspace{5mm}(\text{対角行列なので}\ {}^t\!\Lambda=\Lambda) $$
したがって、
$$AA^\dagger=U\Lambda U^\dagger U\overline{\Lambda} U^\dagger=U\Lambda \overline{\Lambda} U^\dagger$$
$$A^\dagger A=U\overline{\Lambda} U^\dagger U\Lambda U^\dagger=U\overline{\Lambda} \Lambda U^\dagger$$
ここで、
$$ \Lambda \overline{\Lambda}=\overline{\Lambda}\Lambda= \begin{pmatrix} |\lambda_1|^2\\ &|\lambda_2|^2\\ &&\ddots\\ &&&|\lambda_n|^2 \end{pmatrix} $$
であるから、$AA^\dagger=A^\dagger A$ が証明された。
正規行列であればユニタリ行列により対角化可能である†
$A$ を $n$ 次元行列として、$n$ に対する数学的帰納法を用いる。
(1) $n=1$ のとき
任意の一次元行列 $A$ は始めから対角行列なので、 $U=E$ (単位行列)と取れば $U^\dagger A U$ は対角行列である。
(2) $n-1$ 次元で成り立つとすれば $n$ 次元でも成り立つことを証明する。
$A\bm x_1=\lambda\bm x_1$ を満たす $\lambda,\bm x_1$ を、 任意の $A$ に対して最低限1組は見つけられる。
この $\bm x_1$ に対して、$\bm x_1,\bm x_2,\dots,\bm x_n$ が正規直交系となるように $\bm x_2,\dots,\bm x_n$ を定めれば、
$$U=\Big(\bm x_1\ \bm x_2\ \dots\ \bm x_n\Big)$$
はユニタリ行列となる。
(ユニタリ行列の列ベクトルは正規直交系であった)
$$ \begin{aligned} U^\dagger AU&=U^\dagger \Bigg( A\bm x_1\ A\bm x_2\ \dots\ A\bm x_n \Bigg)\\ &= \begin{pmatrix} \bm x_1^\dagger\\\bm x_2^\dagger\\\vdots\\\ \ \bm x_n^\dagger\ \ \end{pmatrix} \Bigg( \lambda\bm x_1\ A\bm x_2\ \dots\ A\bm x_n \Bigg)=\begin{pmatrix} \ \lambda & \bm b^\dagger \\ \ \bm 0 & \ \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}A'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} \end{aligned} $$
ここで、
- $\bm b^\dagger$ は $n-1$ 次元の横ベクトル
- $A'$ は $n-1$ 次元の正方ベクトル
で、中身は $A$ や $U$ によって決まる。
ここまでは任意の行列 $A$ に対して成り立つ話。
ここで $A$ が正規行列であるという条件を使う。
$$ (U^\dagger AU)^\dagger=U^\dagger A^\dagger U = \begin{pmatrix} \ \overline \lambda & {}^t\bm 0 \\ \ \bm b & \ \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}^\dagger\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} $$
であるから、
$$ (U^\dagger A U)(U^\dagger A^\dagger U)=U^\dagger AA^\dagger U=\begin{pmatrix} \ \lambda & \bm b^\dagger \\ \ \bm 0 & \ \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \ \overline \lambda & {}^t\bm 0 \\ \ \bm b & \ \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}^\dagger\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} $$
$$ U^\dagger AA^\dagger U=\begin{pmatrix} \ |\lambda|^2+\|\bm b\|^2 & \bm b^\dagger {A'}^\dagger \\ \ A'\bm b & \ \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}{A'}^\dagger\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} $$
同様に、
$$ U^\dagger A^\dagger A U=\begin{pmatrix} \ |\lambda|^2 & \overline\lambda\bm b^\dagger \\ \ \lambda\bm b & \ \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{A'}^\dagger{A'}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} $$
これらが等しくなるためには、
- $\bm b=\bm 0$
- $A'{A'}^\dagger={A'}^\dagger A'$
すなわち、
$$ U^\dagger AU=\begin{pmatrix} \ \lambda & {}^t\bm 0 \\ \ \bm 0 & \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}A'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} $$
かつ $A'$ は $n-1$ 次の正規行列でなければならない。
すると仮定より $A'$ は $n-1$ 次ユニタリ行列 $U'$ を用いて、
$${U'}^\dagger A'U'=\Lambda'$$
のように対角化可能である。
この $U'$ を用いて、$n$ 次正方行列
$$U''=\begin{pmatrix} 1&{}^t\bm 0\\ \bm 0&\hspace{10pt}\rule[-15pt]{0pt}{30pt}U'\rule[-15pt]{0pt}{30pt}\hspace{10pt} \end{pmatrix} $$
を作るとこれはユニタリ行列で、
$$ {U''}^\dagger (U^\dagger AU) U''=\begin{pmatrix} \ \lambda & {}^t\bm 0 \\ \ \bm 0 & \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}{U'}^\dagger A'U'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \ \lambda & {}^t\bm 0 \\ \ \bm 0 & \hspace{20pt}\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\Lambda'\rule[-25pt]{0pt}{50pt}\hspace{20pt} \end{pmatrix} $$
右辺は対角行列になっており、 左辺は $UU''$ $=U'''$ と置けば ${U'''}^\dagger$ $AU'''$ と書ける。
さらに、ユニタリ行列は積について閉じているから $U'''$ はユニタリ行列である。
すなわち、$n$ 次元正規行列 $A$ をユニタリ行列 $U'''$ を用いて対角化できることが証明された。
質問・コメント†
無題†
()
勘違いでしたらすみませんが、「同様に、」と「これらが等しくなるためには、」のあいだの式の右辺の右下の成分A’†A’には、bとb†からの寄与もA’†A’の各成分に和としてあるのではないでしょうか。b=0となるので証明に支障ありませんがどうでしょう。