量子力学/Secular Approximation

(50d) 更新


量子力学Ⅰ

Secular Approximation について

Secular Approximation とは - 物理とか を参考に勉強したことをまとめてみました。
(元の記事がとても良く書かれているので、あまり変わっていない感じかもしれないのだけれど)

摂動を相互作用表示する

あるハミルトニアン $\hat H_0$ の固有値を $\varepsilon_n=\hbar\omega_n$、固有関数を $|n\rangle$ とする。

$$ \hat H_0|n\rangle=\varepsilon_n|n\rangle $$

このとき、$\hat H_0$ をスペクトル分解して書けば、

$$ \hat H_0=\sum_n \varepsilon_n|n\rangle\langle n| $$

である。

ここに、あらわに時間を含まない摂動 $\lambda\hat H_1$ を加えることを考える。

$$ \hat H=\hat H_0+\lambda\hat H_1 $$

このとき、

$$ i\hbar\frac d{dt}|\psi(t)\rangle=\hat H|\psi(t)\rangle $$

に対して相互作用表示と呼ばれる表示を使うことで、$|\psi_I(t)\rangle$ の時間発展を考えよう。

$$ |\psi_I(t)\rangle=e^{i\hat H_0t/\hbar}|\psi(t)\rangle $$

これを代入すると、

$$ \begin{aligned} i\hbar\frac d{dt}\Big[e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle\Big]&= \cancel{\hat H_0}e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle+i\hbar e^{-i\hat H_0t/\hbar}\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle\\ &=\Big(\cancel{\hat H_0}+\lambda\hat H_1\Big)e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \end{aligned} $$

$$ i\hbar e^{-i\hat H_0t/\hbar}\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle=\lambda\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}|\psi_I(t)\rangle $$

$$ i\hbar\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle=\lambda \underbrace{e^{i\hat H_0t/\hbar}\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}}_{\hat H_I(t)}|\psi_I(t)\rangle $$

$$ i\hbar\frac d{dt}|\psi_I(t)\rangle=\lambda \hat H_I|\psi_I(t)\rangle $$

として、$|\psi_I(t)\rangle$ に対するハミルトニアン $\lambda\hat H_I(t)$ は

$$ \hat H_I(t)=e^{i\hat H_0t/\hbar}\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar} $$

と書き表せることになる。

時間発展演算子 $\hat U_I(t)$ を

$$ |\psi_I(t)\rangle=\hat U_I(t)\, |\psi_I(0)\rangle $$

と定義すれば、

$$ i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)\, |\psi_I(0)\rangle=\lambda \hat H_I\hat U_I(t)\, |\psi_I(0)\rangle $$

$$ i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)=\lambda \hat H_I\hat U_I(t) $$

が導かれる。

$e^{\pm i\hat H_0t/\hbar}$ に $\hat H_0$ のスペクトル分解を代入すれば、

$$ \begin{aligned} e^{\pm i\hat H_0t/\hbar} &=\hat 1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm i\hat H_0t/\hbar)^k\\ &=\hat 1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm it)^k\Big(\sum_n\omega_n|n\rangle\langle n|\Big)^k\\ &=\underbrace{\sum_n |n\rangle\langle n|}_{\hat 1}+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm it)^k\Big(\sum_n\omega_n^k|n\rangle\langle n|\Big)\\ &=\sum_n\Big(1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}(\pm i\omega_nt)^k\Big)|n\rangle\langle n|\\ &=\sum_n e^{\pm i\omega_nt}|n\rangle\langle n|\\ \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \hat H_I&=e^{i\hat H_0t/\hbar}\hat H_1e^{-i\hat H_0t/\hbar}\\ &=\Big(\sum_n e^{i\omega_nt}|n\rangle\langle n|\Big)\hat H_1 \Big(\sum_m e^{-i\omega_mt}|m\rangle\langle m|\Big)\\ &=\sum_n\sum_m \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|\\ \end{aligned} $$

すなわち、

$$ i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)=\lambda \sum_n\sum_m \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|\hat U_I(t) $$

を得る。

この形は、$\hat U_1(t)$ に $|n\rangle$ 表示で $\lambda\hat H_1$ を行列の積として掛けつつ、非対角項については $\hat H_0$ に起因する位相の回転数の違いを調整しているっぽい形だ。

ここまでの話には近似は入っていない。

Secular Approximation

上記の右辺から、$|\omega_n-\omega_m|\ll |\lambda|$ となる項のみを残し、その他を無視するというのが Secular Approximation と呼ばれる近似である。

$$ i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)\sim\lambda \sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m|\hat U_I(t) $$

$\lambda$ に比べて $|\omega_n-\omega_m|$ が大きい項を無視できる理由は次のように考えられる。$\hat U_I(t)$ の時間変化速度は $\lambda$ に比例するものであるから、そのような項では十分な時間発展をする前に $e^{i(\omega_n-\omega_m)t}$ の位相が回転し、符号が回転するため、$U_I(t)$ を小刻みに振動させるのみで $U_I(t)$ に大きな変化を生まないためである。

これはすなわち、

$$ \hat H_I\sim\sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \Big(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\langle n|\hat H_1|m\rangle\Big)|n\rangle\langle m| $$

と近似していることになり、

$$ \hat H_1\sim\sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m| $$

と近似していることになる。つまり、$\hat H_1$ を $|n\rangle$ を基底に行列表示した際に、$|\omega_n-\omega_m|\,\gtrsim\,|\lambda|$ となる項、つまり対角線から離れた項をゼロに置き換えて良いと。

さらに、$t\ll\omega_n-\omega_m$ においては $e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\sim 1$ となるから、

$$ \hat H_I\sim\sum_{|\omega_n-\omega_m|\,\ll\,|\lambda|} \langle n|\hat H_1|m\rangle\,|n\rangle\langle m|\sim\hat H_1 $$

と近似することもできる。

なぜ $\lambda$ との比較になるのか

$|\omega_n-\omega_m|$ の大きさを $\lambda$ と比べて評価する理由は、

$$ i\hbar\frac d{dt}\hat U_I(t)=\lambda\hat H_I(t)U_I(t) $$

を、

$$ \hat U_I(t)=\hat 1+\lambda\hat U_I^{(1)}(t)+\lambda^2\hat U_I^{(2)}(t)+\dots $$

のように展開して解けば明らかになる。

$$ \begin{aligned} &i\hbar\frac d{dt}\Big(\hat 1+\lambda\hat U_I^{(1)}(t)+\lambda^2\hat U_I^{(2)}(t)+\dots\Big)\\ &=\lambda\hat H_I(t)\Big(\hat 1+\lambda\hat U_I^{(1)}(t)+\lambda^2\hat U_I^{(2)}(t)+\dots\Big) \end{aligned} $$

$\lambda$ に対する最低次項 $U_I^{(1)}(t)$ の時間発展は、

$$ i\hbar\frac d{dt}\hat U_I^{(1)}(t)=\hat H_I(t) $$

すなわち、

$$ \hat U_I^{(1)}(t)=\frac{-i}{\hbar}\int_0^t\hat H_I(t')\,dt' $$

であるから、$U_I(t)$ について $\lambda$ に対する最低次の項のみ残せば、

$$ U_I(t)\sim \hat 1+\frac{-i\lambda}{\hbar}\int_0^t\hat H_I(t')\,dt' $$

となることが分かる。この $\hat H_I$ を上記の表式で書きかえれば、

$$ U_I(t)\sim \hat 1+\frac{-i}{\hbar}\sum_n\sum_m \lambda\bigg(\int_0^t e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}\,dt'\bigg)\langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m| $$

積分をするには $\omega_n=\omega_m$ であるケースを分けて考える必要があり、

$$ \int_0^t e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}dt'=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}-1}{i(\omega_n-\omega_m)}&(\omega_n\ne\omega_m)\\ t&(\omega_n=\omega_m)\\ \end{matrix}\right. $$

であるから、

$$ \begin{aligned} U_I(t)\sim \hat 1+\frac{-i}{\hbar}\sum_{\omega_n\ne \omega_n} \frac{\lambda(e^{i(\omega_n-\omega_m)t'}-1)}{i(\omega_n-\omega_m)}\langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m|\\+ \frac{-i}{\hbar}\sum_{\omega_n\ne \omega_n}\lambda t\langle n|\hat H_1|m\rangle|n\rangle\langle m| \end{aligned} $$

となる。

この表式から、確かに $|\omega_n-\omega_m|\gg\lambda$ の項を無視できることが読み取れる。

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