量子力学Ⅰ/不確定性原理/メモ

(40d) 更新


可換な演算子には同時固有関数を見つけられる

$\varphi$ がエルミート演算子 $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数であれば、 $(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)\varphi=0$ が成り立つ

量子力学Ⅰ/不確定性原理#hb461116 で示された。

ここではその逆を証明したい。すなわち、

$\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ には $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数で正規直交完全系を取れる。

両方を合わせると、

$\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha=0$ と、 $\hat \alpha,\hat \beta$ の同時固有関数が見つかることと、 は同値である

を言える。

準備

$\text{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ において、

$$\hat\alpha\hat\beta=\hat\beta\hat\alpha=\hat\beta^\dagger\hat\alpha^\dagger=(\hat\alpha\hat\beta)^\dagger$$

であるから $\hat\alpha\hat\beta$ はエルミートである。

すなわち $\hat\alpha\hat\beta$ の固有関数で正規直交完全系 $\{\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}\}$ を作れ、それらは $\hat\beta\hat\alpha$ の固有関数にもなる。

$$\hat\alpha\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=\lambda_{\alpha\beta}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=\hat\beta\hat\alpha\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}$$

$\hat\beta$ を掛けてみると、

$$\hat\beta\hat\alpha\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=\lambda_{\alpha\beta}\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}} $$

より、$\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}$ は固有値 $\lambda_{\alpha\beta}$ に属する $\hat\beta\hat\alpha$ の固有関数である。当然 $\hat\alpha\hat\beta$ の固有関数でもある。

このとき、

$$(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}=0$$

が成り立ち、$\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}\in\text{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ であることも分かる。

同時固有関数による正規直交完全系の構築

「$\lambda_{\alpha\beta}$ を固有値とする $\hat\alpha\hat\beta$ の固有空間」と「 $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ 」の交空間に正規直交完全系 $\{\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}\}$ が取れるとする。

上で見たように、すべての $k$ に対して $\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}$ はやはり $\lambda_{\alpha\beta}$ を固有値とする $\hat \alpha\hat\beta$ の固有ベクトルであり、しかも $\mathrm{Ker}(\hat \alpha\hat \beta-\hat \beta\hat \alpha)$ に含まれるから、定数係数 $\{b_{kk'}\}$ を用いて

$$ \hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\sum_{k'}b_{kk'}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')} $$

のように表せる。

行列 $B=\big(b_{kk'}\big)$ は $\{\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}\}$ を基底とする $\hat\beta$ の行列表現であり、$\hat\beta$ がエルミートであることから $B$ もエルミートとなる。したがって $UBU^\dagger$ を対角行列とするユニタリ行列 $U=\{u_{kk'}\}$ を見つけることができる。

このとき、

$$ {\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\sum_{k'} u_{kk'}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')} \hspace{5mm}\leftrightarrow\hspace{5mm} \varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\sum_{k'} u_{k'k}^*{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')} $$

に対して、

$$\begin{aligned} \hat\beta{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)} &=\sum_{k'} u_{kk'}\hat\beta\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k')}\\ &=\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}} u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}\varphi_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k^{\prime\prime})}\\ &=\sum_{k^{\prime\prime\prime}} \underbrace{\sum_{k'}\sum_{k^{\prime\prime}}u_{kk'}b_{k'k^{\prime\prime}}u_{k^{\prime\prime\prime}k^{\prime\prime}}^*}_{=\,(UBU^\dagger)_{kk^{\prime\prime\prime}}=\,\lambda_\beta^{(k)}\delta_{kk^{\prime\prime\prime}}}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k^{\prime\prime\prime})}\\ &=\lambda_\beta^{(k)}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)} \end{aligned}$$

が得られる。さらに、

$$\hat\alpha\hat\beta{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)} =\hat\alpha\lambda_{\beta}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)} =\lambda_{\alpha\beta}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)} $$

より、

$$\hat\alpha{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}=\underbrace{(\lambda_{\alpha\beta}/\lambda_{\beta})}_{\lambda_\alpha}{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}$$

であるから、$\{{\varphi'}_{\lambda_{\alpha\beta}}^{(k)}\}$ が $\hat\alpha,\hat\beta,\hat\alpha\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交系となることが示された。

もともと異なる固有値に属する固有関数は直交するから、 全体として $\text{Ker}\,(\hat\alpha\hat\beta-\hat\beta\hat\alpha)$ に対する $\hat\alpha,\hat\beta$ の同時固有関数からなる正規直交完全系が得られる。

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