球対称井戸型ポテンシャル/メモ

(48d) 更新


球ベッセル関数の導出

  R''+\frac{2}{\rho}R'+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0

\rho\to\infty にて R''=-R となるから、 R(\rho)\propto\sin \rho または R(\rho)\propto\cos \rho となる。 そこで、

  R(\rho)=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}

と置いて代入すれば、

  R''&=\sum_{k=0}^\infty \left[ k(k+1)\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}} -2k\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}} -\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\right]\\ &=\sum_{k=2}^\infty (k-2)(k-1)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-\sum_{k=1}^\infty 2(k-1)\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-\sum_{k=0}^\infty\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\\

  \frac{2}{\rho}R'&=\sum_{k=0}^\infty \left[ -2k\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}} +2\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}\right]\\ &=-\sum_{k=2}^\infty 2(k-2)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}+\sum_{k=1}^\infty 2\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\

  \left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R&=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-l(l+1)\sum_{k=2}^\infty \frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}

\rho^0 については自動的に満たされる。

\rho^{-1} については、

  2(k-1)c_{k-1}-2c_{k-1}-l(l+1)s_{k-2}=0

  -2(k-1)s_{k-1}+2s_{k-1}-l(l+1)c_{k-2}=0

すなわち、

  c_0=\frac{l(l+1)}{-2}s_{-1}=0

  s_0=\frac{l(l+1)}{2}c_{-1}=0

k\ge 2 については、

\frac{\sin\rho}{\rho^k} の係数より、

  &(k-2)(k-1)s_{k-2}+2(k-1)c_{k-1}-\cancel{s_k}\\ &\hspace{1cm} -2(k-2)s_{k-2}-2c_{k-1}+\cancel{s_k}-l(l+1)s_{k-2}\\ &=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}s_{k-2}+2(k-2)c_{k-1}\\ &=0

すなわち、

  2(k-2)c_{k-1}=\{l(l+1)-(k-3)(k-2)\}s_{k-2}  ( k\ge 2

あるいは、

  2kc_{k+1}=\{l(l+1)-(k-1)k\}s_k  ( k\ge 0

\frac{\cos\rho}{\rho^k} の係数より、

  &(k-2)(k-1)c_{k-2}-2(k-1)s_{k-1}-\cancel{c_k}\\ &\hspace{1cm}-2(k-2)c_{k-2}+2s_{k-1}+\cancel{c_k}-l(l+1)c_{k-2}\\ &=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2}-2(k-2)s_{k-1}\\ &=0

すなわち、

  2(k-2)s_{k-1}=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2}  ( k\ge 2

あるいは、

  2ks_{k+1}=\{(k-1)k-l(l+1)\}c_k  ( k\ge 0

となる。

得られた2つの漸化式は k=0 で意味をなさないから、 s_1,c_1 は自由に選べて、 k\ge 1 において、

  c_{k+1}=\frac{l(l+1)-(k-1)k}{2k}s_k

  s_{k+1}=\frac{(k-1)k-l(l+1)}{2k}c_k

となる。 k\to\infty にて s_k\ne 0,c_k\ne 0 であれば、

  c_{k+1}\sim-\frac{k}{2}s_k

  s_{k+1}\sim \frac{k}{2}c_k

となって明らかに発散するから、この漸化式は k=l+1 で打ち切られる必要がある。

l=0 のとき c_2=s_2=0 より、

  R=\frac{1}{\rho}(s_1\sin\rho+c_1\cos\rho)

であるが、 c_1\ne 0 では \rho=0 で発散してしまうため、 c_1=0 であり、

  j_0(\rho)\propto\frac{\sin\rho}{\rho}

l=1 のとき、 c_2=s_1 s_2=-c_1 より、

  R=s_1\left(\frac{\sin\rho}{\rho}+\frac{\cos\rho}{\rho^2}\right)+ c_1\left(\frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2}\right)

であるが、 s_1\ne 0 では \rho=0 で発散してしまうため、 s_1=0 であり、

  j_1(\rho)\propto \frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2}

上記で発散する側を選んだのが球ノイマン関数になる。

球ベッセル関数

LANG:mathematica
MySphericalBesselJ[l_, x_] := 
  Nest[D[#, x]/x &, Sin[x]/x, l] x^l // FullSimplify
Table[MySphericalBesselJ[l, x], {l, 0, 4}]


&\Bigg\{\frac{\sin (x)}{x},\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^2}, -\frac{\left(x^2-3\right) \sin (x)+3 x \cos (x)}{x^3},\\ &\hspace{5mm}\frac{3 \left(2 x^2-5\right) \sin (x)-x \left(x^2-15\right) \cos (x)}{x^4},\frac{5 x \left(2 x^2-21\right) \cos (x)+\left(x^4-45 x^2+105\right) \sin (x)}{x^5}\Bigg\}

球ベッセル関数のグラフ

LANG:mathematica
Plot[
 Join[
   SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r], 
   {1/r, -1/r}
 ] // Evaluate, 
 {r, 0, 40}, PlotRange -> {-0.3, 1.05}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, 
 PlotStyle -> {Thick, Thick, Thick, Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, 
]
 
Plot[Join[
  SphericalBesselJ[{1, 5, 9}, (Pi r)], {1/(Pi r), -1/(Pi r)}] // 
  Evaluate, {r, 0, 16}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, 
  PlotStyle -> {Thick, Thick, 
  Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, 
  PlotRange -> {-0.3, 0.5}, AspectRatio -> 0.4]

Plot[
 r^2 SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r]^2 // Evaluate, 
 {r, 0, 40}, PlotRange -> Full, ImageSize -> 800, 
 BaseStyle -> 20, PlotStyle -> Thick, Filling->Axis]

エネルギー

LANG:mathematica
RootsOfSphericalBesselJ[l_, xmax_] := 
  Map[ Round[#[[1]][[2]], 0.00001]&, 
    Table[
      FindRoot[SphericalBesselJ[l, x], {x, s}], 
      {s, 1, xmax, 0.1}]] // Sort // Union // 
        Select[#, Function[x, 0.1 <= x <= xmax]] &

energies = 
  Table[ 
    MapIndexed[{#1^2, #2[[1]], l}&, 
      RootsOfSphericalBesselJ[l, 40]], 
   {l, 0, 10}] // Flatten[#, 1] & // 
      Sort[#, (#1[[1]] < #2[[1]]) &] &

ListPlot[{#[[3]], #[[1]]} & /@ energies, PlotStyle -> PointSize[Large], 
PlotRange -> {{-0.2, 10.2}, {0, 800}}, 
AxesLabel -> {l, "(\!\(\*SuperscriptBox[SubscriptBox[\(\[Rho]\), \(n\)], \(l\)]\)\!\ \(\*SuperscriptBox[\()\), \(2\)]\)"}, LabelStyle -> 16, 
GridLines -> {{}, Range[0, 800, 50]}]

境界条件

LANG:mathematica
RootsOfSphericalBesselJ[l_, xmax_] :=
  Map[Round[#[[1]][[2]], 0.00001] &,
    Table[FindRoot[SphericalBesselJ[l, x], {x, s}], {s, 1, xmax, 0.1}]] //
      Sort // Union // Select[#, Function[x, 0.1 <= x <= xmax]] &

roots = Table[RootsOfSphericalBesselJ[l, 40], {l, 0, 4}]

ScaledSphericalBesselJ[l_, n_, x_, xs_] := 
  SphericalBesselJ[l, x roots[[l + 1]][[n]]]/
    (FindMaximum[
      SphericalBesselJ[l, xx roots[[l + 1]][[n]]], {xx, xs}][[1]]) // FullSimplify

Table[Plot[
  Table[ScaledSphericalBesselJ[l, n, x, 0.3], {l, 0, 3}] // 
    Evaluate, {x, 0, 1}], {n, 1, 4}] // 
      GraphicsRow[#, ImageSize -> 1336] &

Table[Plot[
  Table[ScaledSphericalBesselJ[l, n, x, 0.3]^2, {l, 0, 3}] // 
    Evaluate, {x, 0, 1}], {n, 1, 4}] // 
      GraphicsRow[#, ImageSize -> 1336] &

ScaledSphericalBesselJ[l_, n_, x_, xs_] := 
  SphericalBesselJ[l, x roots[[l + 1]][[n]]]/
    (FindMaximum[
      xx SphericalBesselJ[l, xx roots[[l + 1]][[n]]], {xx, xs}][[1]]) // FullSimplify

Table[Plot[
  Table[x^2 ScaledSphericalBesselJ[l, n, x, 0.3]^2, {l, 0, 3}] // 
    Evaluate, {x, 0, 1}], {n, 1, 4}] // 
      GraphicsRow[#, ImageSize -> 1336] &

有限エネルギー障壁

波動関数は

$$ \begin{cases} A j_l\Big(\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt\varepsilon r\Big)&(r<a)\\ B h_l^{(1)}\Big(i\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt{V-\varepsilon} r\Big)&(a<r)\\ \end{cases} $$

と表せるから、$r=a$ において

$$ A j_l\Big(\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt\varepsilon r\Big)= B h_l^{(1)}\Big(i\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt{V-\varepsilon} r\Big) $$

$$ A \frac{d}{dr}j_l\Big(\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt\varepsilon r\Big)= B \frac{d}{dr}h_l^{(1)}\Big(i\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt{V-\varepsilon} r\Big) $$

が成り立つ必要がある。$\rho_a=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}\sqrt\varepsilon a$, $\alpha=B/A$, $\beta=\sqrt{V-\varepsilon}/\sqrt{\varepsilon}$ と置けば、$d/dr=\sqrt{\varepsilon}d/d\rho$ などに注意して、

$$ j_l(\rho_a)=\alpha h_l^{(1)}(i\beta\rho_a) $$

$$ j_l'(\rho_a)= i\alpha \beta h_l^{(1)\prime}(i\beta\rho_a) $$

両辺を割り算すると $\alpha$ を消去できて、

$$ \frac{j_l'(\rho_a)}{j_l(\rho_a)}=i\beta\frac{h_l^{(1)\prime}(i\beta\rho_a)}{h_l^{(1)}(i\beta\rho_a)} $$

左辺は $-\tan r$ のように周期的に発散を繰り返す関数、右辺は $r$ に対して $-\infty$ から $0$ まで単調に増加する関数となる。

一方、右辺を $\beta$ の関数として見ると、$\beta=0$ で最大値 $-(l+1)/\rho_a$ を取る単調減少関数で、$\beta$ の大きいところで直線 $-b-1/r$ に漸近する。

したがって、左辺が $\frac{j_l'(\rho_a)}{j_l(\rho_a)}<-(l+1)/\rho_a$ を満たす時に限って上式を満たす $\beta$ が存在することになる。

距離を $a$、エネルギーを $\frac{\hbar^2}{2m}$ の単位に計ることにすると $\rho_a=\sqrt{\varepsilon}$ となり、

$$ \sqrt\varepsilon\,\frac{j_l'(\sqrt\varepsilon)}{j_l(\sqrt\varepsilon)}= i\sqrt{V-\varepsilon}\,\frac{h_l^{(1)\prime}(i\sqrt{V-\varepsilon})}{h_l^{(1)}(i\sqrt{V-\varepsilon})} $$

を得る。左辺と右辺とをそれぞれ $\varepsilon$ の関数としてプロットし、両者の交点を求めることでエネルギー固有値を計算できる。

find_energy.svg

ここでは左辺が青、右辺が黄色で表されている。

LANG:mathematica
djljl[l_, r_] = 
D[SphericalBesselJ[l, r], r]/SphericalBesselJ[l, r] // FullSimplify
dhlhl[l_, r_] = 
D[SphericalHankelH1[l, I r], r]/SphericalHankelH1[l, I r] // 
 FullSimplify
With[{l = 3, V = 250},
 Plot[{Sqrt[e] djljl[l, Sqrt[e]],
   Sqrt[V - e] dhlhl[l, Sqrt[V - e]]},
  {e, 0, V}]]

With[{l = 3, V = 250},
 Table[
      e /. FindRoot[
         Sqrt[e] djljl[l, Sqrt[e]] -
          Sqrt[V - e] dhlhl[l, Sqrt[V - e]],
         {e, e0}] // Chop ,
      {e0, V/100, V - V/100, V/100}
      ] // Round[#, 10^(-9)] & // DeleteDuplicates // Sort // N
 ]

PlotRadiusDistribution[l_, V_, ee_] := Table[
   Module[{a, n},
    a = SphericalBesselJ[l, Sqrt[e]]/
      SphericalHankelH1[l, I Sqrt[V - e]];
    n = NIntegrate[
      r^2 If[r < 1, SphericalBesselJ[l, Sqrt[e] r], 
         a SphericalHankelH1[l, I Sqrt[V - e] r]]^2, {r, 0, 10}];
    {e, a, n} // Chop
    ], {e, ee}] //
  Plot[
    {Table[e, {e, ee}],
     Table[e[[1]] + 10
        r^2 If[r < 1, SphericalBesselJ[l, Sqrt[e[[1]]] r], 
           e[[2]] SphericalHankelH1[l, I Sqrt[V - e[[1]]] r]]^2/e[[3]],
      {e, #}
      ],
     If[r < 1, 0, V]},
    {r, 0, 2}, Exclusions -> None, 
    PlotStyle -> {Dotted, Thick, Thick}, PlotRange -> {0, V + 50}] &
RootsOfSphericalBesselJ[l_, xmax_] := 
 Map[Round[#[[1]][[2]], 0.00001] &, 
     Table[FindRoot[SphericalBesselJ[l, x], {x, s}], {s, 1, xmax, 
       0.1}]] // Sort // Union // 
  Select[#, Function[x, 0.1 <= x <= xmax]] &
roots = Table[RootsOfSphericalBesselJ[l, 40], {l, 0, 4}]
PlotRadiusDistribution2[l_, V_, m_] := 
 Table[
   {roots[[l + 1]][[k]], 
    NIntegrate[
     r^2 SphericalBesselJ[l, r roots[[l + 1]][[k]]]^2, {r, 0, 
      1}]}, {k, 1, m}] //
  Plot[
    {Table[e[[1]]^2, {e, #}],
     Table[e[[1]]^2 + 10
         If[r < 1, r^2 SphericalBesselJ[l, r e[[1]]]^2/e[[2]], 0],
     {e, #}
      ],
     If[r < 1, 0, V + 80]},
    {r, 0, 2}, Exclusions -> None, 
    PlotStyle -> {Dotted, Thick, Thick}, PlotRange -> {0, V + 50}] &
GraphicsGrid[{{PlotRadiusDistribution[0, 250, {8.724234448`, 34.81866899`, 78.005855882`, 137.603946206`, 211.434813541`}],
   PlotRadiusDistribution2[0, 250, 5]},
  {PlotRadiusDistribution[1, 250, {17.836719112`, 52.556701517`, 104.118224984`, 171.426106714`, 248.24309799`}],
   PlotRadiusDistribution2[1, 250, 5]},
  {PlotRadiusDistribution[2, 250, {29.324751452`, 72.724643339`, 132.529167804`, 206.897892775`}],
   PlotRadiusDistribution2[2, 250, 4]},
  {PlotRadiusDistribution[3, 250, {43.076560923`, 95.225384656`, 163.090056824`, 242.876487902`}],
   PlotRadiusDistribution2[3, 250, 4]}
  }]

添付ファイル: filefind_energy.svg 18件 [詳細]

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