線形代数Ｉ/教科書演習/１Ａ−３ の履歴(No.1)

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演習問題１Ａ−３†

\bm{C} は \bm{R} 上のベクトル空間であることを示せ。 また、基底を１組作れ。

解答†

前半は、

z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2,z_3=x_3+iy_3 \in \bm{C} , r,s \in \bm{R} に対して、

加法が \bm{C} に閉じていること、 数乗法が \bm{C} に閉じていること、 および、これらの演算が教科書P2〜3のベクトル空間の８つの公理を 満たすことを示せばよい。

(A) 加法が \bm{C} に閉じている

z_1+z_2=x_1+iy_1+x_2+iy_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \in \bm{C}

(B) 数乗法が \bm{C} に閉じている

rz_1=(rx_1)+i(ry_1) \in \bm{C}

(1) 加法の交換法則

z_1+z_2=z_2+z_1

(2) 加法の結合法則

(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)

(3) ゼロ元の存在

z_1+0=z_1 ただし 0=0+i0 \in \bm{C}

(4) 逆元の存在

z_1=x_1+iy_1 \in \bm{C} に対して、 -z_1=-x_1-iy_1 \in \bm{C} が 存在する。

(5) １倍

1\cdot z_1=z_1

(6) 数乗法の結合法則

r \cdot (s \cdot z_1)=(r \cdot s) \cdot z_1

(6) 数乗法の分配法則１

(r + s) \cdot z_1=r \cdot z_1 + s \cdot z_1

(6) 数乗法の分配法則２

r \cdot (z_1+z_2)=r \cdot z_1 + r \cdot z_2

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