復習：連立方程式と逆行列 の履歴(No.1)

演習†

(1)

次の連立方程式について、

&math( \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases} );

(a) ただ１つの解を持つような &math(a,b,c,d,e,f); を１つ答えよ~
(b) 複数の解を持つような &math(a,b,c,d,e,f); を１つ答えよ~
(c) １つも解が存在しないような &math(a,b,c,d,e,f); を１つ答えよ~

解答†

(1)-(a)

規則性無く係数を選べばほぼ必ず解は１つに定まるが、分かりやすい形を答えるのであれば、 例えば とすれば、

&math( \begin{cases} x+0y=1\\ 0x+y=2 \end{cases} );

だけが解となる。

(1)-(b)

２つの式が独立な条件になっていないとき、解は無数に存在する。

たとえば、 とすれば、

&math( \begin{cases} x+y=1\\ x+y=1 \end{cases} );

であるから、 と置けば &math(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix});

あるいは、 と置けば、任意の が方程式の解となる。

(1)-(c)

絶対に成り立たない方程式を作ればいいから、

例えば と置けば、

&math( \begin{cases} 0x+0y=1\\ dx+ey=f \end{cases} );

となって、 によらず第１式を満たす は存在しないから、 解なし、となる。

あるいは、 と置けば、

&math( \begin{cases} x+y=1\\ x+y=2 \end{cases} );

となって、やはりこれらを同時に満たす は存在しない。