量子力学/汎関数微分 の履歴(No.1)
更新関数の関数=汎関数†
$F$ に関数 $\phi$ を与えると何らかの数値 $F[\phi]$ が得られる、とすれば、そのような $F$ は汎関数と呼ばれる。関数の関数だから汎関数。
例えばこんなの。
$$ F[\phi]=\int f\big(\phi(x)\big)\ dx $$
$f(y)$ は始めから決まった関数だとすれば、「関数 $\phi$ を定めると $F[\phi]$ の値が定まる」という感覚を理解できるだろうか。
もっと簡単な例として、
$$ F[\phi]=\phi(0) $$
なんてすれば、これも立派な汎関数だ。$\phi(x)$ を決めてやれば $F[\phi]$ の値がちゃんと決まる。$\phi(x)$ の定義を変えると $F[\phi]$ の値も変わる(ことがある)。
汎関数微分†
関数 $\phi$ を
$$ \phi(x)\to\phi(x)+\delta\phi(x) $$
のように少し変化させたときに、汎関数 $F[\phi]$ の値が
$$ F[\phi]\to F[\phi]+\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$
のように変化した、と書けるときの、
$$ \frac{\delta F}{\delta \phi} $$
のことで、これ自体が $x$ の関数となる。
$$ \phi(x)\to\phi(x)+\delta\phi(x) $$
のときに
$$ F[\phi]\to F[\phi]+\delta F[\delta \phi] $$
と書くとして、
$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$
と書いてもいい。
どうして積分が必要なのか?†
どうして
$$ \delta F[\delta \phi]=\frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi $$
ではなく、
$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\delta F}{\delta \phi} \delta\phi(x)\ dx $$
のように積分が必要なのか?
これは、$n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ の
$$ x_i\to x_i+\delta x_i $$
に対する変化が、
$$ f\to f+\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\delta x_i $$
であったことと対応している。$F[\phi]$ では $\sum$ の代りに $\int$ が現れたわけだ。
言ってしまえば、汎関数 $F[\phi]$ は無限個の変数 $\phi(x)$ に依存する超多変数関数なのである。
$F[\phi]$ は $\phi(0)$ にも $\phi(0.1)$ にも $\phi(0.11)$ にも依存している(可能性がある)。というか、定義域に含まれるすべての $x$ に対する $\phi(x)$ に依存している(可能性がある)のだから、それぞれに対する変化量である $(\delta F/\delta\phi)\delta\phi(x)$ をすべて足したものが $\delta F[\delta\phi]$ になる。$x$ が連続なので「すべて足したもの」を計算するのに $\sum$ ではなくて $\int $ が必要になるわけだ。
汎関数微分の例†
例1†
$$ F[\phi]=\int f\big(x,\phi(x)\big)\ dx $$
のときは単純に、
$$ \delta F[\delta \phi]=\int \frac{\partial f}{\partial \phi} \delta\phi(x)\ dx $$
であるから、
$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi} $$
となる。これは一般に $x$ の関数である。
めでたしめでたし?
例2†
$$ \phi'=\frac{d\phi}{dx} $$
などと書くことにして、
$$ F[\phi]=\int f(\phi(x),\phi'(x))\ dx $$
のとき、
$$ \delta F[\delta\phi]=\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi'\Big] dx $$
部分積分すると、
$$ \delta F[\delta\phi]=\Big[\frac{\partial f}{\partial \phi'}\delta \phi\Big]+\int \Big[\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)'\Big]\delta \phi\ dx $$
積分区間の端で $\frac{\partial f}{\partial \phi'}=0$ または $\delta \phi=0$ となる場合には1項目は消えて、
$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\Big(\frac{\partial f}{\partial \phi'}\Big)' $$
と書ける。微分をちゃんと書いておくと、
$$ \frac{\delta F}{\delta \phi}=\frac{\partial f}{\partial \phi}-\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial f}{\partial (d\phi/dx)}\Big) $$
である。この形はラグランジアン密度を考える際などに頻出する。
参考†
ー [EMANの物理学・解析力学・汎関数微分](http://eman-physics.net/analytic/functional.html)