量子力学Ⅰ/調和振動子 の履歴(No.1)
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1次元の調和振動子†
調和振動子のポテンシャルは であるから、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は
&math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{k}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x) );
このような方程式を解く場合には、変数を無次元化するのが常套手段である。 すなわち、長さの次元を持つ自由変数 を変数変換して、無次元の量 で記述する。 ここでは、
,
と置くと良い。ただし、 は古典論から得られる角振動数である。 すると与式は、
&math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0 );
となる。 の大きなところでは となるから、 そこでは は近似的に次の方程式を満たす。
&math( \frac{d^2}{d\xi^2}\psi(\xi)=\xi^2\psi(\xi) );
ここから予想されるのは、
&math( \psi(\xi)=H(\xi)e^{\pm\xi^2/2} );
という解の形である。系が 付近に束縛されていることから、 複号は負を取る。
&math( &-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[H(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda H(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-\frac{d}{d\xi}\big[H'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi H(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda H(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-H''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi H'(\xi)e^{-\xi^2/2}+H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda H(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=0\\ );
両辺を で割れば、
&math( H''(\xi)=2\xi H'(\xi)+(1-\lambda) H(\xi) );
を得る。 と置いて代入すれば、
&math( \sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );
より において、
を得る。この式によれば、 を適当に決めると が、 を適当に決めると が、 それぞれすべて決まることになる。
あるいは あるいは が成立すれば、 それより大きな に対して がゼロになるが、 そうでない限り がゼロになることはない。
がゼロにならない場合、 において
が成り立つ。これは
とした時の係数の比と同じであり、このようになっていては が でゼロに収束するという境界条件を満たさない。
すなわち、 あるいは のどちらかがゼロであり、 もう一方と同じ偶奇性(パリティ)を持つある において が成立することが境界条件から要求され、 その結果 となる項は有限個となる。
- のとき ,
- のとき ,
- のとき ,
- のとき ,
- のとき ,
- ・・・
ここで現れた多項式 はエルミートの多項式と呼ばれる。