電子の波動方程式/メモ の履歴(No.1)
更新- 履歴一覧
- 差分 を表示
- 現在との差分 を表示
- ソース を表示
- 量子力学Ⅰ/電子の波動方程式/メモ へ行く。
- 1
解答:波動方程式(電磁波の場合)†
(1)
&math( \frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD t}\Big[\omega\bm E_0\sin(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\Big]\\ &=-\omega^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );
(2)
&math( \frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0\cos(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD x}\Big[-k_x\bm E_0\sin(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=-k_x^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );
同様に、&math( \frac{\PD^2}{\PD y^2}\bm E(\bm r,t)=-k_y^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );、 &math( \frac{\PD^2}{\PD z^2}\bm E(\bm r,t)=-k_z^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) ); だから、
&math( \nabla^2\bm E(\bm r,t) &=\Big(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}\Big)\bm E(\bm r,t) &=\big(-k_x^2-k_y^2-k_z^2\big)\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) &=-|\bm k|^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );
(3) (1), (2) より与式を書き換えると、
したがって、 であるかぎり、
あるいは、
(4) より、
(5)
&math(\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD t}\Big[-\omega\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=\omega^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );
また、
&math(\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD x}\Big[k_x\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=k_x^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t) );
より、波動方程式は
と書き換えられて、(3), (4) と同様に である限り、波動方程式を満たすことが確かめられる。