広義固有空間の構造とジョルダン標準形 の履歴(No.10)
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概要†
現在推敲中で未完成です
ジョルダン標準形とは、対角化できない行列を「準対角化」した形である。 この標準形は行列の固有空間の概念を拡張した、「広義固有空間」が持つ構造を反映した形となる。
ここは発展項目なので、線形代数IIの内容を先取りして使う。
実のところ、線形代数IIでも扱わない内容なので、線形代数IIを学んでから戻ってきても良い。
目次†
固有空間とその次元†
次正方行列 の、固有値 に対する固有空間 （固有ベクトルの集合が作る線形空間）とは、
の解が作る空間である。したがって、
と書ける。
すべての固有値について、その重複度と同数の一次独立な固有ベクトルを見つけられることが 行列が対角化可能な条件だった。
これは固有空間の次元が重複度と等しいことと同値である。 （重複度を超えることはない）
（ の重複度を とする）
広義固有空間†
対角化できない場合には
となる固有値があるが、そのような場合にも必ず、
となることを以下のようにして示せる。すなわち、固有空間
に対して、「広義固有空間」を
と定義すれば、その次元は必ず重複度と等しくなる。
さらに、異なる固有値の広義固有空間はゼロ以外で重ならないため、 全空間を広義固有空間の直和に分解できることになる。
広義固有空間の次元が重複度と等しくなること、広義固有空間がゼロ以外で重ならないこと、の証明†
三角化可能定理 の証明の手順において、 初めに を 回選ぶと、左上から 個の が並び、その後、他の固有値が並ぶ形に三角化する の存在を示せる。
&math( &\hspace{4mm}\overbrace{\hspace{17mm}}^{r}\\ P^{-1}AP=&\begin{pmatrix} \lambda & * & * & \dots & \dots&* \\
& \ddots & * &\dots & \dots&* \\ & & \lambda & & & \vdots\\ & & & \lambda'& &\vdots\\ & & & & \lambda''\\ & & & & & \ddots\\
\end{pmatrix} );
この を用いて ケーリーハミルトンの定理 の証明で行ったのと同じ操作を
に対して行えば、
&math( &(A-\lambda I)^r\\ &=PP^{-1}(A-\lambda I)PP^{-1}(A-\lambda I)PP^{-1}\dots(A-\lambda I)PP^{-1}\\ &=P(P^{-1}AP-\lambda I)(P^{-1}AP-\lambda I)\dots(P^{-1}AP-\lambda I)P^{-1}\\ &=P\begin{pmatrix} 0 & * & * & \dots & \dots&* \\
& \ddots & * &\dots & \dots&* \\ & & 0 & & & \vdots\\ & & & \lambda'-\lambda& &\vdots\\ & & & & \lambda''-\lambda\\ & & & & & \ddots\\
\end{pmatrix}^{\displaystyle r} P^{-1}\\ &=P\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & \dots&* \\
& \ddots & 0 &\dots & \dots&* \\ & & 0 & & & \vdots\\ & & & (\lambda'-\lambda)^r& &\vdots\\ & & & & (\lambda''-\lambda)^r\\ & & & & & \ddots\\
\end{pmatrix} P^{-1}\\ &\hspace{12mm}\underbrace{\hspace{17mm}}_{r}\\ );
中央の行列の階数は 、カーネルは 次元で、 これらは正則行列（ や ）とのかけ算で変化しないため、 の階数は 、 カーネルは 次元となることが分かった。
一方、 ただし とすれば、 上記の形から は 要素目以降がすべてゼロとなるようなベクトルである。 そして、 は正則であるため 要素目よりも前にゼロでない要素が存在する。
に対して上と同様の計算を行うと、
&math( &(A-\lambda' I)^{r'}\\ &=P\begin{pmatrix} \lambda-\lambda' & * & * & \dots & \dots&* \\
& \ddots & * &\dots & \dots&* \\ & & \lambda-\lambda' & & & \vdots\\ & & & 0& &\vdots\\ & & & & \lambda''-\lambda\\ & & & & & \ddots\\
\end{pmatrix}^{\displaystyle r'} P^{-1}\\ &=P\begin{pmatrix} (\lambda-\lambda')^{r'} & * & * & \dots & \dots&* \\
& \ddots & * &\dots & \dots&* \\
& & (\lambda-\lambda')^{r'} & & & \vdots\\
& & & 0& &\vdots\\
& & & & (\lambda''-\lambda')^{r'}\\
& & & & & \ddots\\
\end{pmatrix} P^{-1}\\ &\hspace{12mm}\underbrace{\hspace{45mm}}_{r}\\ );
のように 列目までの対角要素には が並び、 との積はゼロにならないことが分かる。 これは異なる固有値の広義固有空間が 以外で重ならないことを示す。
広義固有空間の構造†
定義の通り、広義固有空間に含まれるベクトルは、
を満たす。
そこでこの空間を、 「何回 をかけたらゼロになるか」で分類する。 これらの集合は部分空間となるから、
- ０回でゼロになる空間は
- １回でゼロになるのが通常の固有空間
- ２回かけたらゼロになる空間
- ３回かけたらゼロになる空間
- …
- 回かけたらゼロになる空間
とすると、以下が成り立つ。
回かけたらゼロになるベクトルは 回かけたらゼロになるベクトルでもあるので、
&math( \underbrace{V^0(\lambda)}_{=\,\set{\bm 0}}\subset \underbrace{V^1(\lambda)}_{=\,V(\lambda)}\subseteq V^2(\lambda)\subseteq\dots\subseteq \underbrace{V^r(\lambda)}_{=\,W(\lambda)} );
例１ ３次元の広義固有空間、固有空間が１次元†
&math(A=\begin{pmatrix}
4 & -2 & 0 \\ -3 & 4 & -2 \\ -11 & 9 & -2 \\
\end{pmatrix}
);
まずは固有値を求める。
&math(|A-\lambda I|= \begin{vmatrix}
4-\lambda & -2 & 0 \\ -3 & 4-\lambda & -2 \\ -11 & 9 & -2-\lambda \\
\end{vmatrix}= 8-12\lambda+6\lambda^2-\lambda^3=(2-\lambda)^3 );
（３重解）
したがって、広義固有空間 は３次元。
次に固有空間 を求める。
&math( \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ -11 & 9 & -4 \\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} );
掃出せなかった をパラメータとして、
&math(\bm x=z\begin{pmatrix}
- 2\\-2\\1 \end{pmatrix});
したがって、固有空間 は１次元。 基底として &math(\bm b_1=\begin{pmatrix}
- 2\\-2\\1 \end{pmatrix}); を取れる。
広義固有空間が３次元で固有空間が１次元ということは、
&math( \dim V(2)=1\ge\dim \Delta V^2(2)\ge\dim \Delta V^3(2)\ge\dim \Delta V^4(2)\ge\dots);
かつ、
&math( \dim V(2)+\dim \Delta V^2(2)+\dim \Delta V^3(2)+\dim \Delta V^4(2)+\dots=\dim W(2)=3 );
であるから、
&math(&\dim V(2)=\dim \Delta V^2(2)=\dim \Delta V^3(2)=1\\ &\dim\Delta V^4(2)=\dim\Delta V^5(2)=\dots=0);
となるはず。
を求めるため、 「 をかけると に入るベクトル」を探す。
の拡大係数行列を変形して、
&math( \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & -2\\ -3 & 2 & -2 & -2\\ -11 & 9 & -4 & 1\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & -2 & -5\\ 0 & -2 & -4 & -10\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} );
より、
&math( \begin{cases} x+2z=4s\\ y+2z=5s\\ 0=0 \end{cases} );
掃出せなかった をパラメータとすれば、
&math( \bm x=z\begin{pmatrix}
- 2\\-2\\1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix} );
第１項は のベクトルだから、 例えば を &math(\bm b_2=\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix}); を基底に持つ１次元空間と取ることができる。
次に を求めるために「 をかけると に入るベクトル」を探す。
の拡大係数行列を変形して、
&math( \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & 4\\ -3 & 2 & -2 & 5\\ -11 & 9 & -4 & 0\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & -2 & 11\\ 0 & -2 & -4 & -22\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & -9\\ 0 & 1 & 2 & -11\\ 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} );
掃出せなかった をパラメータとすれば、
&math( \bm x=z\begin{pmatrix}
- 2\\-2\\1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
- 9\\-11\\0 \end{pmatrix} );
第１項は のベクトルだから、 例えば を、 &math(\bm b_3=\begin{pmatrix}
- 9\\-11\\0 \end{pmatrix}); を基底に持つ１次元空間と取ることができる。
念のため、 があるか調べるために 「 をかけると に入るベクトル」を探してみる。
&math( \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & -9\\ -3 & 2 & -2 & -11\\ -11 & 9 & -4 & 0\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & -9\\ -6 & 4 & -4 & -22\\ -22 & 18 & -8 & 0\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & -9 \\ 0 & -2 & -4 & -49\\ 0 & -4 & -8 & -99\\
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 & -9 \\ 0 & -2 & -4 & -49\\ 0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix} );
最後の行は を表し、これを満たすベクトルは存在しないから、 である。
したがって、
&math( W(\lambda)= \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{V(\lambda)}_{[\bm b_1]}\,\dot+\, \underbrace{\Delta V^2(\lambda)}_{[\bm b_2]} }_{V^2(\lambda)} \,\dot+\, \underbrace{\Delta V^3(\lambda)}_{[\bm b_3]} }_{V^3(\lambda)} );
の構造を確認できた。
直和分解の任意性†
を探す際、
&math( \bm x=z\begin{pmatrix}
- 2\\-2\\1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix} );
で と置けば、
&math( \bm x=s\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} );
を得るから、 を &math(\bm b_2'=\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}); を基底に持つ１次元空間と取ることもできる。
このように、直和分解には任意性があることに注意が必要である。
ジョルダン標準形†
上記の に対して、
であり、まとめて書けば、
&math( (A-\lambda I)\Bigg(\bm p_1\ \bm p_2\ \bm p_3\Bigg) &=\Bigg(\,\bm 0\ \bm p_1\ \bm p_2\Bigg)\\ &=\underbrace{\Bigg(\bm p_1\ \bm p_2\ \bm p_3\Bigg)}_{=\,P} \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} );
ここで はそれぞれ の元であるから一次独立であり、
&math( P=\Bigg(\bm b_1\ \bm b_2\ \bm b_3\Bigg) );
は正則である。左から を掛けて、
&math( P^{-1}(A-\lambda I)P =\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} );
より、
&math( P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{pmatrix} );
を得る。この形は のジョルダン標準形と呼ばれる。
- 対角要素に固有値が並ぶ
- すぐ右上に、対応するベクトルがどのベクトルへ移るかを示す 1 が並ぶ
例２ 固有空間が２次元で非対称†
&math(A=\begin{pmatrix}
- 9&8&-4\\
- 15&13&-6\\
- 5&4&-1 \end{pmatrix} );
とすると、
は、 を導き、 掃出せなかった をパラメータで と置けば、
&math(\bm x=s\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
- 2\\0\\5 \end{pmatrix});
は２次元で、 &math(\bm b_1=\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix},\bm b_2=\begin{pmatrix}
- 2\\0\\5 \end{pmatrix}); を基底に取れる。
を求めるために、
&math((A-\lambda I)\bm x=s\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
- 2\\0\\5 \end{pmatrix});
と置けば、
&math( \begin{pmatrix}
- 10&8&-4&4&-2\\
- 15&12&-6&5&0\\
- 5&4&-2&0&5 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
- 5&4&-2&0&5\\ 0&0&0&4&-12\\ 0&0&0&5&-15\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
- 5&4&-2&0&5\\ 0&0&0&1&-3\\ 0&0&0&0&0\\ \end{pmatrix}\sim );
となって、&math( \begin{cases}
- 5x+4y-2z=5t\\ 0=s-3t\\ \end{cases} ); を得る。
すなわち、
&math( \bm x=s'\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix}+t'\begin{pmatrix}
- 2\\0\\5 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
- 1\\0\\0 \end{pmatrix} );
に対して
&math( (A-\lambda)\bm x= 3t\begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
- 2\\0\\5 \end{pmatrix} =t\begin{pmatrix} 10\\15\\5 \end{pmatrix} =5t\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} );
つまり、
&math(\bm b_2'=\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix});
&math(\bm b_3=\begin{pmatrix}
- 1\\0\\0 \end{pmatrix});
とすると、
も を張るから、 広義固有空間の構造は、
&math( W(1)= \underbrace{ \underbrace{ \underbrace{V_1(1)}_{\bm b_1} \,\dot+\, \underbrace{V_2(1)}_{\bm b_2'} }_{V(1)} \,\dot+\, \underbrace{V_2^2(1)}_{\bm b_2} }_{V^2(1)} );
ジョルダン標準形†
に対して、
&math(P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda&\\ &\lambda&1\\ &&\lambda \end{pmatrix} );
となる。
例３ 固有空間が２次元で対称†
&math( A=\begin{pmatrix}
3 & 8 & 4 & -12 \\ 6 & 5 & 4 & -12 \\ -6 & -1 & -5 & 6 \\ 5 & 9 & 4 & -15 \\
\end{pmatrix} );
&math( \begin{pmatrix} \lambda&1\\ &\lambda&\\ &&\lambda&1\\ &&&\lambda\\ \end{pmatrix} );
一般のジョルダン標準形†
ジョルダン標準形の応用†
ジョルダン標準形を見れば、その行列の広義固有空間がどのような構造になっているか一目瞭然となる。 その意味でジョルダン標準形は非常に重要であるが、応用的にも重要な意味を持つ。