線形代数II/基底の変換 の履歴(No.11)
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基底の変換†
$\mathbb R^3$ の数ベクトル表現†
次の3つのベクトルは の基底を為す。
&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \bm b_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} );
つまり、次の2つが成り立つ。
- は線形独立である
- は を張る
1. はほぼ自明
2. は、 を、
として表せると言う意味。あるいはこれを満たす を見つけられるという意味。
&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bigg.\bm b_1&\bm b_2&\bm b_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} =B\bm x');
と書き直すと、1. より は正則行列であるから、どんな を与えられたとしても とすれば を見つけられることが分かる。
すなわち、 のベクトル の、 基底 に対する数ベクトル表現は、
と書けることが分かる。
実は上記の議論は線形独立な任意の にあてはまる。
基底の変換行列†
次元線形空間 に2つの基底を取る
これらの基底に対するベクトル の表現 は、
(1) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde} A} );
(2) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{\comment{widetilde} B} );
の関係を満たす。図に表わせば、
および はともに 線形写像となるから、その合成写像 も線形写像である。
線形代数I において の線形変換は 行列の積で表せることを学んだ。 すなわち、ある行列 を用いて、
(3)
と表せる。
このとき、 を 基底 から 基底 への基底の変換行列と呼ぶ。
変換の向き†
上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。
どうしてこの向きかというと、
(2) に (3) を代入して、
&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}\bm x_{\comment{widetilde} A} );
と (1) とを比べると、
(4) &math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A} );
となり、 の基底ベクトルを並べて右から を掛けることで の基底ベクトルが得られる。
こう書けば変換の向きは正しく思えるはず。
変換行列 $P_{\comment{widetilde} B\to \comment{widetilde} A}$ の具体的な形†
変換行列の列ベクトルを次のように置けば、
(4) より、
&math( \bm a_i= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm p_i );
一方、 の に対する表現 は
&math( \bm a_i= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm a_{i\comment{widetilde} B} );
であるから、
すなわち、
となる。
正則性†
当然、逆写像も線形写像であるから、
であり、
の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。