解析力学/ハミルトニアン の履歴(No.15)

偏微分を使った導出†

偏微分を用いて (3) 式を導く際には独立変数が $\tilde x,y$ であることを明示して $x$ を $x(\tilde x,y)$ と書くと分かりやすい。

$$ \tag{$2'$}\tilde f(\tilde x,y)=\tilde x\,x(\tilde x,y)-f\big(x(\tilde x,y),y\big) $$

これらを $\tilde x,y$ で偏微分すれば、

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\tilde f(\tilde x,y)}{\partial \tilde x} &=\cancel{\frac{\partial\tilde x}{\partial \tilde x}}x(\tilde x,y)+\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial \tilde x}-\frac{\partial}{\partial \tilde x}f\big(x(\tilde x,y),y\big)\\ &=x(\tilde x,y)+\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial \tilde x}-\underbrace{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}_{\tilde x}\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial \tilde x}\\ &=x(\tilde x,y)+\cancel{\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial \tilde x}}-\cancel{\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial \tilde x}}\\ &=x \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\tilde f(\tilde x,y)}{\partial y} &=\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}f\big(x(\tilde x,y),y\big)\\ &=\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}-\underbrace{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}_{\tilde x}\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\ &=\cancel{\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}}-\cancel{\tilde x\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}}-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\ &=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\ &=\tilde y \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \therefore d\tilde f &=x\,d\tilde x-\tilde y\,dy \end{aligned} $$

途中で行った変形、例えば

$$ \frac{\partial}{\partial y}f\big(x(\tilde x,y),y\big)= \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} $$

は $x$ が $y$ の関数であるため $y\to y+dy$ の変化に対して $x\to x+dx=x+\frac{\partial x}{\partial y}dy$ と変化することを考慮した

$$ \begin{aligned} f(x(\tilde z,y+dy),y+dy)&=f(x+dx,y+dy)\\ &=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\\ &=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\frac{\partial x(\tilde x,y)}{\partial y}dy+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\\ \end{aligned} $$

を偏微分で表したものであるが、このように偏微分では「どの変数で微分するか」と同じくらい「どの変数を固定するか」に注意を払う必要があり、計算が煩雑になりがちである。

全微分を使った導出†

(2) 式を全微分に直し (1) 式を代入すれば、

$$ \begin{aligned} d\tilde f(\tilde x,y)&=d(\tilde x x)-df(x,y)\\ &=d\tilde x\, x+\cancel{\tilde x\, dx}-\big(\cancel{\tilde x\, dx}+\tilde y\,dy\big)\\ &=x\,d\tilde x-\tilde y\,dy \end{aligned} $$

のように簡単に (3) 式が得られる。

実際これで正しい計算になっているし、この方がずっと楽に計算できるのであるが、その意味するところや得られた結果に対する理解を深めるため上ではあえて偏微分を使って解いたのであった。

２回のルジャンドル変換で元に戻る†

$\tilde f(\tilde x,y)$ を $\tilde x$ に対してルジャンドル変換すれば、(3) 式より

$$ \tag{5} \widetilde{\tilde x}=\frac{\partial\tilde f(\tilde x,y)}{\partial\tilde x}=x $$

であり、(2) 式より

$$ \tag{6} \widetilde{\tilde f}(\widetilde{\tilde x},y)=\widetilde{\tilde x}\,\tilde x-\tilde f(\tilde x,y) =\cancel{x\,\tilde x}-\big(\cancel{\tilde x\, x}-f(x,y)\big)=f(x,y) $$

となり $f(x,y)$ に戻る。

このようにルジャンドル変換はとても対称性の良い変換である。

またこれはルジャンドル変換が可逆的な変換であるということでもある。

このことから（少なくとも $x$ と $\tilde x$ が１対１に対応する限り）$\tilde x,\tilde f(\tilde x,y)$ の情報さえあれば (5), (6) 式により $x,f(x,y)$ の情報を完全に復元可能であることが分かる。言い換えれば $f(x,y)$ で記述できる物理系は $\tilde f(\tilde x,y)$ で記述しても情報が失われることはない。

注１：$x$ と $\tilde x$ との1対1対応†

上で述べたルジャンドル変換が有効なのは $f(x,y)$ が $x$ で偏微分可能であり、なおかつ偏微分係数である $\tilde x$ と $x$ との間に１対１対応がある場合に限る。これは $\tilde x(x,y)$ が $x$ に対して単調増加あるいは単調減少すること（$x$ の全域にわたり $\partial^2\tilde x/\partial x^2>0$ または $\partial^2\tilde x/\partial x^2<0$）と同義であり、$f(x,y)$ が定義域全域にわたり $x$ に対して上に凸あるいは下に凸であることと同義である。

一方、熱力学などでは相転移に伴って特性関数に微分不可能な点が現れ、$x$ と $\tilde x$ との対応が一対一にならないような場合なども扱えるよう議論が拡張される。興味があれば 谷村省吾“ルジャンドル変換、物質情報学 1（解析力学）講義ノート 6 や 東京大学出版会「熱力学の基礎」清水明 著 などを参考にするとよい。この場合にも $f(x,y)$ が定義域全域にわたり $x$ に対して上に凸あるいは下に凸であることは仮定される。

注２：もう１つのルジャンドル変換†

上記 (2) 式の符号を変えて、

$$ \tag{2*} \tilde f(\tilde x,y)=f(x,y)-\tilde x x $$

とする変換もルジャンドル変換と呼ばれる。

この場合 (3) 式の符号が変わり

$$ \tag{3*} d\tilde f(\tilde x,y)=-x\,d\tilde x+\tilde y\,dy\hspace{5mm}\left(-x =\frac{\partial \tilde f}{\partial \tilde x},\ \ \tilde y =\frac{\partial \tilde f}{\partial y}\right) $$

となる。

すなわちこのとき $\tilde x$ による偏微分は $x$ ではなく $-x$ である。一方、変換されなかった変数に対する偏微分は符号を含めて変化しない。

これを反映して、2度目のルジャンドル変換では $x$ ではなく $-x$ が独立変数となる。

$$ \tag{5*} \widetilde{\tilde x}=-x $$ $$ \tag{6*} \widetilde{\tilde f}(\widetilde{\tilde x},y)=f(-\widetilde{\tilde x},y) $$

注３：複数の変数に対するルジャンドル変換†

複数の変数に対して一度に変換を行っても構わない。

$f(x,y,z)$ ただし $df=\tilde x\,dx+\tilde y\,dy+\tilde z\,dz$ を $x,y$ に対してルジャンドル変換すれば

$$ \tilde f(\tilde x,\tilde y,z)=\tilde x\,x+\tilde y\,y-f(x,y,z) $$

が得られ、

$$ d\tilde f=x\,d\tilde x+y\,d\tilde y-\tilde z\,dz $$

を満たす、といった具合である。

この結果は、$f(x,y,z)$ を $x$ に対してルジャンドル変換し、続けて $y$ に対してルジャンドル変換した場合とは異なることに注意せよ。