線形代数Ｉ/行列 の履歴(No.16)

更新

線形代数Ｉ

培風館「教養の線形代数（五訂版）」に沿って行っている授業の授業ノート（の一部）です。

1. 行列†

1.1 行列†

旧課程では2x2の行列を高校で習ったのだが、最近は高校で行列を扱わなくなってしまった。

行列とは数字を縦横に並べて括弧でくくったものである。2x2行列などというときは、縦ｘ横の大きさを表している。

2x2行列

&math( \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \hspace{1cm} \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} );

ベクトル(縦と横)も１列あるいは１行しかない行列と考えられる。

&math( \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} \hspace{1cm} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \hspace{1cm} \begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix} \hspace{1cm} \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \hspace{1cm} );

この教科書ではカギ括弧を使う†

丸括弧を使う流儀の方が一般的であるが、カギ括弧を使う流儀もある。

&math( \begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix} \hspace{1.5cm} \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \hspace{1.5cm} \begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix} );

2\times 2 行列     縦ベクトル         横ベクトル
                ( 2\times 1 行列)       ( 1\times 2 行列)

もっと大きな行列も考えられる。

&math( \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix} \hspace{1cm} \begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix} \hspace{1cm} \begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\end{bmatrix} );

3\times 3 行列         3\times 2 行列         2\times 4 行列    

一般の行列†

一般に m\times n 行列を考えることができる。
「数」を m 行 n 列の長方形に並べてカギ括弧でくくった物を m\times n 行列と呼ぶ。

                    n 列

m 行 &math(\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}& &\vdots\\ \vdots& &\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&\cdots&a_{mn}\\ \end{bmatrix});

横書き文化から来ているため、行数を縦に数える。
(日本発なら横に数えたかも？しかも右から！)

数字は常に、行、列、の順で書く

  • m\times n 行列は → m 行 n 列 の大きさ
  • (m, n) 成分は → m 行目 n 列目 の成分
  • a_{ij} は → i 行目 j 列目 の成分

→ "matrix" を「行列」と訳してくれた人のおかげで覚えやすくて助かる！

長方形に並べられた「数」が

  • 実数の時は「実行列」
  • 複素数の時は「複素行列」

行列の成分となる「数」を「スカラー」と呼ぶ。
（と、ここでは理解しておく。正しくは座標変換を学んでから）

スカラーは、考えている問題によって実数だったり、複素数だったりするが、 この教科書ではほぼ常に実数。

スカラーには四則演算が定義されている(スカラーは「体」を為すと言う)。

変数として使う文字†

行列を表す変数は大文字を使う。 ベクトルは太文字で。

  • x=3 → 数値を表す
  • A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix} → 行列を表す
  • \bm x=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} → ベクトルを表す
  • \bm y=\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix} → 横ベクトルでも同じ

ベクトルを表す太文字変数を手書きするときは、 縦線を１本増やしておく。例えばこのあたりを参照：
http://tabitetu.travel.coocan.jp/denken/vector.htm
http://gaussatkarizumai.blog.fc2.com/blog-entry-1.html

縦線を引く場所は必ずしも１通りに決まっているわけではないので、 「ベクトルを表したいんだな」という気持ちが伝われば、どこに引いても大丈夫。

行列の略記†

成分を全て書くのが面倒なときは、

&math(A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}& &\vdots\\ \vdots& &\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&\cdots&a_{mn}\\ \end{bmatrix});

と書く代わりに、

A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}

と書く。

別途、例えば

a_{ij}=3i-2j

などと与えておけば、

&math(A=\begin{bmatrix} 1&-1&-3&\cdots&4-2n\\ 4&2&0&\cdots &8-2n\\ 7&5&3& &\vdots\\ \vdots&\vdots& &\ddots&\vdots\\ 3m-2&2m-4&\cdots&\cdots&3m-2n\\ \end{bmatrix});

のことを表せる。

このような場合の

a_{ij}=3i-2j

は、 i と j を決めれば値が１つ決まると言う意味で、 関数のような物である。したがって、添え字に使う文字を変えて

a_{kl}=3k-2l

などと書いても全く同じ意味となる。

数ベクトルを行列と見なせる†

  • 1\!\times\!n 行列　⇔　横ベクトル
  • n\!\times\!1 行列　⇔　縦ベクトル

線形代数IIでは「数ベクトル」以外のベクトルも出てくる。

零行列、ゼロ行列†

O=\begin{bmatrix}o_{ij}\end{bmatrix} ただし o_{ij}=0

をゼロ行列と呼び、大文字のオー O で表す。

m\times n 行列であることを明示するときは、

O_{m\!\times\!n}

と書く。

O_{3\!\times\!2}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}

正方行列†

n 次正方行列とは、 n\!\times\!n 行列のこと（正方形になる）

対角成分†

左上から右下への対角線上に並ぶ、 (i,i) 成分のこと

\begin{bmatrix}*&?&?&?\\?&*&?&?\\?&?&*&?\\?&?&?&*\end{bmatrix}

アスタリスク * の部分が対角成分。

「右上から左下」の対角線上は特別扱いしない

単位行列†

正方行列で、対角成分だけが 1 で、他がゼロなもの。 行列のかけ算（積）を計算する際、数字の１と同様、他の行列に掛けても値を変えない行列になる。

&math(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\hspace{1cm} \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix});

文字で表すときは I （アイ)を使う(identity matrix の頭文字。 E を使う流儀もある。こちらはドイツ語の Einheitsmatrix からとのこと*1http://mathworld.wolfram.com/I...。unit matrix と呼ぶこともあるが U は使わない。 U は unitary matrix を表すのに使うため。)。

ゼロ成分はしばしば省略される。また、大きさを表したいときは I_n のように次数を添え字にする。

&math({I}_n=\begin{bmatrix} 1&&&\\ &1&&\\ &&\ddots&\\ &&&1 \end{bmatrix});　　← n 次正方行列

略記すれば、

I=\begin{bmatrix}\delta_{ij}\end{bmatrix}

ただし、

&math(\delta_{ij}=\begin{cases} 1&i=j\\ 0&i\ne j \end{cases} );

このように定義された \delta_{ij} は「クロネッカーのデルタ」と呼ばれ、 今後他の教科でも良く出てくる。

ギリシャ文字の書き方は、例えば次のサイトを参照のこと：
http://www.tomakomai-ct.ac.jp/department/gene/am/education/greek.html
http://homepage1.nifty.com/suzuri/gg/ggk001.html#111

デルタやシグマ、ローの書き順には２つの流儀がある？？？どちらが正しいのだろう？？？
→ こちらに「書き順は特に決まっていない」、と説明がありました。

http://toxa.cocolog-nifty.com/phonetika/2004/09/post_f1a5.html

個人的にはデルタ、シグマ、ローともしっぽが最後になるように書いています。 ラムダは左、右の順で書いています。

例（後に出てくる行列の積を学んでから）†

\mathop{A}_{m \times n}=[a_{ij}], \mathop{I}_{n \times n}=[\delta_{ij}], \mathop{B}_{m \times n}=AI=[b_{ij}] とすると、

&math( b_{ij}&=\sum_{k=1}^n a_{ik}\delta_{kj}\\ &=a_{i1}\delta_{1j}+a_{i2}\delta_{2j}+a_{i3}\delta_{3j}+\dots+a_{n1}\delta_{nj});

1\le j\le n より、右辺のどこかに \delta_{jj} の形が現れ、 その項は a_{ij}\delta_{jj} の形をしている。

\delta_{jj}=1 より、 a_{ij}\delta_{jj}=a_{ij} である。

一方、 k\ne j の時 \delta_{kj}=0 なので、

b_{ij}=0+0+\dots+0+a_{ij}+0+\dots+0=a_{ij}

したがって、

B=AI=A

である。

→ 任意の行列 A に単位行列を掛けても行列の値は変化しない

このように、クロネッカーのデルタの基本的な演算法則は、 f(k) を任意の関数、 1\le j\le n として、

\sum_{k=1}^n f(k)\delta_{kj}=\sum_{k=1}^n f(k)\delta_{jk}=f(j)

というものである。

1.2 行列の演算†

行列の和†

同じ型の２つの行列に対して定義される。

&math( \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}g&h&i\\j&k&l\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a+g&b+h&c+i\\d+j&e+k&f+l\end{bmatrix});

A=[a_{ij}],B=[b_{ij}],C=A+B=[c_{ij}] とすれば、

c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

行列のスカラー倍†

&math( k\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ka&kb&kc\\kd&ke&kf\end{bmatrix} );

A=[a_{ij}],B=kA=[b_{ij}] とすれば、

b_{ij}=ka_{ij}

このようにして「数」の四則演算を用いて行列の演算を定義していく。 高校で行列に関する演算をいろいろ習ったが、ここでは一旦全て「知らない振り」をして、 「定義された内容」および「そこから証明された定理」だけを使って何が言えるかを考える。 こういうのが数学の基本的なスタンスだ。

例えば行列の「和」は定義したが「差」はまだ定義していない。

符号反転†

-A\equiv(-1)A と定義する。

性質：

  • -(-A)=A
  • A+(-A)=O

行列の差†

&math( A-B\equiv A+(-B) ); と定義する。

性質：

  • A-A=O

行列の積†

&math( \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} \begin{bmatrix}g&h\\i&j\\k&l\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ag+bi+ck & ah+bj+cl \\ dg+ei+fk & dh+ej+fl \end{bmatrix} );
2\!\times\!3 行列   3\!\times\!2 行列       2\!\times\!2 行列

l\!\times\!m 行列と m\!\times\!n 行列の積は l\!\times\!n 行列となる。
( m が共通の時のみ定義される)

A=[a_{ij}],B=[b_{ij}],C=AB=[c_{ij}] とすれば・・・

どうなる？いくつか簡単な例を見てみると、

c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}+\dots+a_{1m}b_{m1}

c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}+\dots+a_{1m}b_{m2}

類推すれば、

&math(c_{ij}&=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\dots+a_{im}b_{mj}\\ &=\sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj});

と表せる。

AB=[c_{ij}]=\left[\sum_{k=1}^m a_{ik}b_{kj}\right]

は非常に重要なので、必ず覚えること。

i 行 j 列を表す添え字 i,j により挟まれた添え字 k を動かして和を取る形になっている。

例題†

\mathop{A}_{k\times l}=[a_{ij}],\mathop{B}_{l\times m}=[b_{ij}],\mathop{C}_{m\times n}=[c_{ij}] に対してその積を \mathop{D}_{k\times n}=ABC=[d_{ij}] と表すとき、

d_{ij}=\sum_{p=1}^l\sum_{q=1}^ma_{ip}b_{pq}c_{qj}

であることを示せ。

回答：

k\!\times\!m 行列 F=AB=[f_{ij}] を考えると D=FC であるから、

&math( &d_{ij}\\ &=\sum_{p=1}^m f_{ip}c_{pj}\\ &=\sum_{p=1}^m \left(\sum_{q=1}^la_{iq}b_{qp}\right)c_{pj}\hspace{5mm}&分配法則を使う\\ &=\sum_{p=1}^m \sum_{q=1}^la_{iq}b_{qp}c_{pj}&和を取る順番を変える\\ &=\sum_{q=1}^l\sum_{p=1}^ma_{iq}b_{qp}c_{pj}&ダミー変数 p,q を入れ替える\\ &=\sum_{p=1}^l\sum_{q=1}^ma_{ip}b_{pq}c_{qj}\\ );

として与式を得る。

1.3 行列の演算法則†

上記の定義から計算に役立ついくつかの演算法則（定理）を導く。

その前に・・・

行列の相等†

  • 同じ型で
  • 全ての対応する成分同士が等しいとき

２つの行列 A と B は等しいとして、

A=B

と書く。

例（例５）†

&math(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\5&7&9\end{bmatrix}, \bm x=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}, \bm b=\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix});

であるとき、行列（ベクトル）に対する方程式

A\bm x=\bm b

は、

&math( \begin{bmatrix}x+2y+3z\\5x+7y+9z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix});

であるから、

&math(\begin{cases} x+2y+3z=4\\ 5x+7y+9z=8 \end{cases} );

なる連立一次方程式と同値である。

行列の方程式 ⇔ 成分ごとの連立方程式

２章では連立一次方程式を A\bm x=\bm b の形で行列を使って表し、 その性質や解法を勉強する。

和・スカラー倍について†

  1. A+B=B+A ← 交換法則
  2. (A+B)+C=A+(B+C) ← 結合法則
  3. (k+l)A=kA+lA ← 分配法則
  4. k(A+B)=kA+kB ← 分配法則
  5. (kl)A=k(lA) ← 結合法則

成分に対する一次方程式を考えれば容易に成立する。

一方、例えば (k+l)A=(l+k)A などという交換法則は、 「数」についての交換法則として既知であるからここでは扱わない。

同じ + で表される演算が、 「数」に対する物であるか、「行列」に対する物であるかに注意せよ。

積について†

  1. (AB)C=A(BC) ← 結合法則
  2. A(B+C)=AB+AC ← 分配法則
  3. (B+C)D=BD+CD ← 分配法則
  4. (kA)B=k(AB)=A(kB) ← 結合法則

2. と 3. の両方を書いているのは、行列の積に関する交換法則が成り立たないためである。

1. については、上の例題 で見た内容と、 逆に BC を G と置いた計算とを比較すれば証明できる。

2., 3. については、

&math(A(B+C)&=\left[\sum_{m}a_{im}(b_{mj}+c_{mj})\right]\\ &=\left[\sum_{m}(a_{im}b_{mj}+a_{im}c_{mj})\right]\\ &=\left[\sum_{m}a_{im}b_{mj}+\sum_{m}a_{im}c_{mj}\right]\\ &=\left[\sum_{m}a_{im}b_{mj}\right]+\left[\sum_{m}a_{im}c_{mj}\right]\\ );

として、「数」の分配法則に帰着する。

ゼロ行列について†

  1. A+O=A
  2. A-A=O
  3. AO=O' ← 左辺と右辺の O は大きさが異なる（場合がある）
  4. OA=O'
  5. 0A=O

単位行列について†

  1. AI=A
  2. IA=A

証明は上の例のようにすればよい。

これまで見たように、行列の和や積の演算法則は「数」の演算法則と非常によく似ている。
しかし、すべてが同じというわけではない。

行列と数との相違†

(a) 積に関する交換法則は成り立たない AB\ne BA ことがある。
→ そもそも順序を入れ替えると定義されないことすらある。

交換可能な場合、すなわち AB=BA の時、 A と B とは「可換」である、と言う。

可換の条件を AB-BA=O と書くことの方が多いかもしれない。

(b) A\ne O, B\ne O であっても、 AB=O となる場合がある。
このような A,B を零因子という。→ A は B の左零因子である。

(c) A\ne O でも AX=I あるいは YA=I を満たすような X,Y が存在するとは限らない。
逆行列は必ずしも見つからない。

行列に条件を付けるとこれらが成り立つこともある。

  • 対称行列（定義は後で）に限れば (a), (b) について数と同様の性質を持つ。
  • 1\times 1 行列については、(a), (b), (c) すべて大丈夫。
    → そもそも 1\times 1 行列はスカラーと同一視できる。
    → 括弧を省略したものがスカラーと思って良い。

正方行列のべき乗†

正方行列に限り自分自身との積を作れて、

&math( A^k=\begin{cases} \underbrace{A\dots A}_{k}&(k>0)\\ I&(k=0)\\ \end{cases} );

1.4 行列の転置†

転置†

\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} 　 の転置は　 \begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{bmatrix}

m\times n 行列 A の転置は n\times m 行列となり、 {}^t\!A と表される。

A=[a_{ij}], {}^t\!A=[a'_{ij}] とすれば、

a'_{ij}=a_{ji}

（右辺の添え字が ij でなく ji となっていることに注意）

{}^t\!A を A^T と書く流儀もある。 （ A の t 乗と区別するため、右上ではなく左上に書いたり {}^t\!A 、大文字にして数値っぽくないようにしたり A^T 、と工夫してある）

性質†

  1. {}^t({}^t\!A)=A
  2. {}^t(A+B)={}^t\!A+{}^t\!B
  3. {}^t(kA)=k\,{}^t\!A
  4. {}^t(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A

4. のみ注意が必要で、「積の転置は転置の積の順番を入れ替えた物」になる。

証明：

まず両辺の型が等しいことを確かめる。

\mathop{A}_{l\times m}, \mathop{B}_{m\times n} とすれば、 \mathop{AB}_{l\times n}, \mathop{{}^t(AB)}_{n\times l} であり、

一方で、 \mathop{{}^t\!B}_{n\times m}, \mathop{{}^t\!A}_{m\times l} より \mathop{{}^t\!B\,{}^t\!A}_{n\times l} であるから、

両辺の型は等しい。

A=[a_{ij}], {}^t\,A=[a'_{ij}] B=[b_{ij}], {}^t\,B=[b'_{ij}] C=[c_{ij}], {}^t\,C=[c'_{ij}]

ただし C=AB とすると、

c'_{ij}&=c_{ji}\\&=\sum_{k=1}^m a_{jk}b_{ki}

一方で、 D={}^t\!B\,{}^t\!A=[d_{ij}] とすれば、

&math(d_{ij}&=\sum_{k=1}^m b'_{ik}a'_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^m b_{ki}a_{jk}\\ &=\sum_{k=1}^m a_{jk}b_{ki}\\ );

となり、左辺と右辺の成分は等しくなる。

問１０により {}^t(ABC)={}^t\!C\,{}^t\!B\,{}^t\!A なども成り立つ。

再度、「積の転置は転置の積の順番を入れ替えた物」になる。

特別な形の行列†

  • ゼロ行列
  • 単位行列
  • 対称行列
    &math( \begin{bmatrix} a&b&c&d\\ b&f&g&h\\ c&g&k&l\\ d&h&l&p \end{bmatrix} \hspace{2cm} {}^t\!A=A );を満たす ( a_{ji}=a_{ij} )

  • 交代行列
    &math( \begin{bmatrix} 0&b&c&d\\
  • b&0&g&h\\
  • c&-g&0&l\\
  • d&-h&-l&0 \end{bmatrix} \hspace{1cm} {}^t\!A=-A );を満たす ( a_{ji}=-a_{ij} )
    特に、 a_{ii}=-a_{ii} より a_{ii}=0 となる。

  • 上三角行列
    &math( \begin{bmatrix} a&b&c&d\\ 0&f&g&h\\ 0&0&k&l\\ 0&0&0&p \end{bmatrix} \hspace{2cm} i>j );のとき a_{ij}=0

  • 下三角行列
    &math( \begin{bmatrix} a&0&0&0\\ e&f&0&0\\ i&j&k&0\\ m&n&o&p \end{bmatrix} \hspace{2cm} i<j );のとき a_{ij}=0

  • 対角行列
    &math( \begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&f&0&0\\ 0&0&k&0\\ 0&0&0&p \end{bmatrix} \hspace{2cm} i\ne j );のとき a_{ij}=0
    対角行列は、対称行列であり、上三角行列であり、下三角行列である。
    ゼロ行列は、対称、交代、上三、下三、対角、すべての条件を満たす。

三角行列の対角成分はゼロでなくても良いことに注意。

1.5 正則行列†

「数」の演算では、 a\ne 0 に対して a^{-1} がただ１つ存在して aa^{-1}=a^{-1}a=1 となる。

逆に、 aa^{-1}=a^{-1}a=1 となる a^{-1} が存在するなら a\ne 0 であり、また、そのような a^{-1} はただ１つしか存在しない。

正則行列†

A が正方行列であり、 AX=XA=I となるような X が存在するとき、 A は正則行列であると言う。

  • X は自ずと正方行列となる
  • 「正則行列である」は数で言うところの「 a\ne 0 である」と言うような物

逆行列†

ある A が与えられたとき、 もし AX=XA=I となる X が存在するなら、 そのような X はただ１つしか存在しない。

∵もし２つあって AX=XA=I かつ AY=YA=I ならば、

XAY&=(XA)Y=IY=Y\\&=X(AY)=XI=X

より X=Y である。

そのような X を A の逆行列と呼び、 A^{-1} で表す。 （「 A のインバース」と読む）

逆行列の性質†

A,B を同じ次数の正則行列とする。

  1. (A^{-1})^{-1}=A

    ∵ A(A^{-1})=(A^{-1})A=I はそのまま A が A^{-1} の逆行列であることを表す。

  2. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ← 順序が入れ替わることに注意

    ∵ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I かつ
    (B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I

  3. ({}^t\!A)^{-1}={}^t(A^{-1}) ← 転置とインバースは入れ替え可能

    ∵ {}^t\!A\,{}^t(A^{-1})={}^t(A^{-1}A)={}^tI=I かつ
    {}^t(A^{-1})\,{}^t\!A={}^t(AA^{-1})={}^tI=I

実際には正方行列 A に対して XA=I を満たす正方行列 X は、 必ず AX=I を満たす。また、その逆も成り立つ。これは後に証明される。

1.6 行列の分割†

分割と小行列†

大きな行列を縦横に分割して小さなブロック（＝小行列）に 分割 することがある。

例：

&math( A=\left[ \begin{array}{ccc|cc} a&b&c&d&e\\ f&g&h&i&j\\ \hline k&l&m&n&o\\ p&q&r&s&t\\ \end{array} \right]=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix} );

ただし、各小行列は

&math( &A_{11}=\begin{bmatrix}a&b&c\\f&g&h\end{bmatrix}, A_{12}=\begin{bmatrix}d&e\\i&j\end{bmatrix},\\ &A_{21}=\begin{bmatrix}k&l&m\\p&q&r\end{bmatrix}, A_{22}=\begin{bmatrix}n&o\\s&t\end{bmatrix},\\ );

分割行列の演算†

各小行列の型が一致して、計算が可能な限り、

  • &math(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}\\ A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22} \end{bmatrix} );
  • &math(k\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} kA_{11}&kA_{12}\\ kA_{21}&kA_{22} \end{bmatrix} );
  • &math(\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11}&B_{12}\\ B_{21}&B_{22} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\\ \end{bmatrix} );

などとして、あたかも小行列を普通の数と見なした 2\times 2 行列のような演算が可能である。
ただし、小行列の積の順序は入れ替えられないことに注意せよ。

行列の分割は 2\times 2 に限らず、任意の m'\times n' の小行列への分割が考えられる。

ベクトルへの分割†

A=\Big[a_{ij}\Big]_{m\times n} とする。

A を１列ごとに分割して、

&math(A&=\left[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&a_{m4}&\dots&a_{mn}\\ \end{array} \right]\\ &=\Bigg[\begin{matrix} \hspace{3mm}\bm a_{1}&\hspace{3mm}\bm a_{2}&\hspace{2mm}\bm a_{3}&\hspace{2mm}\bm a_{4}&\hspace{1mm}\dots&\hspace{2mm}\bm a_{n}\hspace{2mm} \end{matrix}\Bigg]);

と表したり、１行ごとに分割して、

&math( A&=\left[ \begin{array}{ccccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\\hline a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots&a_{2n}\\\hline \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\hline a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots&a_{mn}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{ccccc} \bm a'_1\\ \bm a'_2\\ \vdots\\ \bm a'_n\\ \end{array} \right]\\ );

と表すことがある。

ここで行分割のベクトルにプライム（ダッシュ）を付けているのはここだけの便宜的な物で、 行分割だから付けるというルールがあるわけではない。

例†

(1)

&math(AB=\begin{bmatrix}\bm a'_1\\\bm a'_2\\\hspace{5mm}\vdots\hspace{5mm}\\\bm a'_n\end{bmatrix}\Big[\ \ B\ \ \Big] =\begin{bmatrix}\bm a'_1B\\\bm a'_2B\\\hspace{7mm}\vdots\hspace{7mm}\\\bm a'_nB\end{bmatrix} );

例：

&math( \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}\hspace{3mm}\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}\hspace{3mm}\\\ \\\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\hspace{3mm}\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}\hspace{3mm}\\\ \\\begin{bmatrix}c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\hspace{3mm}\begin{bmatrix}ae+bg&af+bh\end{bmatrix}\hspace{3mm}\\\ \\\begin{bmatrix}ce+dg&cf+dh\end{bmatrix}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{bmatrix} );

(2)

&math(AB=\Bigg[\ \ A\ \ \Bigg]\Bigg[\begin{matrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{matrix}\Bigg] =\Bigg[\begin{matrix}A\bm b_1&A\bm b_2&\dots&A\bm b_n\end{matrix}\Bigg]);

(3)

&math(AB= \begin{bmatrix}\bm a'_1\\\bm a'_2\\\hspace{5mm}\vdots\hspace{5mm}\\\bm a'_n\end{bmatrix} \Bigg[\begin{matrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{matrix}\Bigg] =\begin{bmatrix} \bm a_1'\bm b_1&\bm a_1'\bm b_2&\dots&\bm a_1'\bm b_n\\ \bm a_2'\bm b_1&\bm a_2'\bm b_2&\dots&\bm a_2'\bm b_n\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ \bm a_m'\bm b_1&\bm a_m'\bm b_2&\dots&\bm a_m'\bm b_n\\ \end{bmatrix});

ここで、右辺の各項はベクトル {}^t\bm a_1 と \bm b_1 との内積になっていて、 その結果はスカラーである。すなわち、これがそのまま各成分を表している。

AB=\left[c_{ij}\right]=\left[\bm a'_i\bm b_j\right]


(4) \bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} と置けば、

&math(A\bm x&=\Bigg[\begin{matrix} \bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n \end{matrix}\Bigg]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\\ &=x_1\bm a_1+x_2\bm a_2+\dots+x_n\bm a_n\\ &=\sum_{k=1}^n x_k\bm a_k );

基本ベクトル†

n 次の縦基本ベクトルとは、

&math(\bm e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \bm e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \bm e_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}, \dots, \bm e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix});

のような n 本のベクトルである。

\bm e_k=[\delta_{ik}]_{n\times 1}

と書くこともできる。

横基本ベクトルは、

&math(\bm e'_1&=\begin{bmatrix}1&0&0&0&\dots&0\end{bmatrix}\\ \bm e'_2&=\begin{bmatrix}0&1&0&0&\dots&0\end{bmatrix}\\ \bm e'_3&=\begin{bmatrix}0&0&1&0&\dots&0\end{bmatrix}\\ &\vdots\\ \bm e'_n&=\begin{bmatrix}0&0&0&0&\dots&1\end{bmatrix}\\ );

で、

\bm e'_k={}^t\bm e_k

である。

例１：

単位行列の列分割、行分割は、

&math(I=\Bigg[\begin{matrix}\bm e_1&\bm e_2&\dots&\bm e_n\end{matrix}\Bigg]= \begin{bmatrix}\bm e'_1\\\bm e'_2\\\hspace{5mm}\vdots\hspace{5mm}\\\bm e'_n\end{bmatrix});

として基本ベクトルで書ける。

例２：

行列に基本ベクトルを掛けることで、特定の列や行を取り出すことができる。

&math( A\bm e_k&=\Bigg[\begin{matrix} \bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n \end{matrix}\Bigg]\begin{bmatrix}0\\\vdots\\\ \ 1\ \ \\\vdots\\0\end{bmatrix} \begin{matrix} \\ \\\leftarrow k\\ \\ \\ \end{matrix}\\ &=\bm a_k );

k 列目が取り出された。

&math( \bm e'_kA&=\mathop{\Big[\begin{matrix}0&\ldots&1&\ldots&0\end{matrix}\Big]}^k \begin{bmatrix}\bm a'_1\\\bm a'_2\\\hspace{5mm}\vdots\hspace{5mm}\\\bm a'_n\end{bmatrix}\\ &=\bm a'_k );

k 行目が取り出された。

特に、

\bm e'_iA\bm e_j=a_{ij}

(i,j) 成分が取り出された。

質問・コメント†




この教科書ではカギ括弧を使う†

nupetan ()

カギ括弧は大括弧の誤りではないかとの旨，申し伝えます．

基本ベクトル†

濱口数馬 ()

取り出しベクトルの表現が、行と列が逆では?

  • ご指摘の通りでしたので修正しました。ありがとうございました。 -- 武内(管理人)
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