線形写像の行列表現と階数 の履歴(No.16)
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- 線形代数II/線形写像の行列表現と階数 へ行く。
線形写像の行列表現†
線形写像 を考える。ただし、
すなわち に対して
の基底
の基底
を考えれば、 や の表現を定められる。
これらの関係は図のようになる。
、 、 はそれぞれ線形写像なので、 それらの合成写像である も線形写像となる。
数ベクトルから数ベクトルへの線形写像は行列のかけ算で表せる†
次元数ベクトル を成分表示して、
と書けば、
&math( \bm y_B&=T_{BA}\bm x_A\\ &=\sum_{k=1}^n x_{Ak}T_{BA}\bm e_k\\ &=\begin{pmatrix}\\ T_{BA}\bm e_1\ \ T_{BA}\bm e_2\ \ \dots\ \ T_{BA}\bm e_n\\\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{A1}\\x_{A2}\\\vdots\\x_{An}\\ \end{pmatrix}\\ &=\underbrace{\begin{pmatrix}\\ T_{BA}\bm e_1\ \ T_{BA}\bm e_2\ \ \dots\ \ T_{BA}\bm e_n\\\\ \end{pmatrix}}_{m\times n 行列}\bm x_a );
一般の線形写像の行列表現†
すなわち、上記 から への線形写像は 行列 を使って、
と表せる。この行列 を、線形写像 の行列表現と呼ぶ。
$T_{BA}$ の具体的な形†
と置くと、当然
&math(\bm t_i=T_{BA} \begin{pmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix} \begin{matrix}\phantom 0\\\phantom 0\\←\,i\,行目\\\phantom 0\\\phantom 0\end{matrix} );
これと、 とを比べると、
のとき、
の定義より、
だから、
すなわち、
&math(T_{BA}= \begin{pmatrix}T(\bm a_1)_B&T(\bm a_2)_B&\dots&T(\bm a_n)_B\end{pmatrix} );
線形写像の行列表現は、
元となる空間の基底ベクトルに線形写像を施して、
先となる空間の基底で表現したものを列ベクトルとする。
基底の変換行列との関係†
先にやった基底の変換行列 は、 上記 を恒等変換 に置き換えた形と等しい( )
すなわち、
行列表現の基底変換†
から および、 から の基底の変換を考える。
に、 、 を適用すれば、
&math( \bm y_{B'}&=T_{B'A'}\bm x_{A'}\\ &=\underbrace{(P_{B\to B'})^{-1}}_{P_{B'\to B}}\ \underbrace{T_{BA}\ \underbrace{(P_{A\to A'})\bm x_{A'}}_{\bm x_A}}_{\bm y_B} );
したがって、
基底変換と階数†
行列の階数は正則行列のかけ算では変化しないことを1年生で学んだ。 すなわち、 が正則の時、
したがって、線形写像の行列表現の階数も任意の基底変換で保存する。
基底変換の例†
が で与えられるものとする。
すなわち、 のとき、
これを、 、 を使って表わせば、
&math( \begin{pmatrix}2a\\b\end{pmatrix}=T_{BA} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}); より、
一方、 、 を使って表わせば、
のとき、
より、
&math( \begin{pmatrix}2a\\-a+b\end{pmatrix}=T_{B'A'} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}); より、
また、
より、
より、
これらを用いて、
&math(=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});
&math(=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});
&math(=\begin{pmatrix}2&0&0\\-2&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix});
を確かめられる。
演習†
が で与えられる。
(1) 上記の基底 に対する の表現 、 を求めよ
(2) から への変換行列 に対して下記を確かめよ
線形変換である場合†
すなわち「線形変換」であるときは なので、このとき と書けば、
すなわち、 と とは 線形代数I で学んだ「相似」の関係にある。
トレース、行列式、固有値†
相似な行列 では、
- トレース:
- 行列式:
- 階数:
- 固有方程式:
が等しくなることを1年生で学んだ。→ 相似変換に対するトレース、行列式、固有値の保存
すなわち線形変換 を定めれば、基底を指定しなくてもこれらの値が定まることになる。
したがって、線形変換の トレース 、デターミナント 、 階数 、固有値 を具体的な基底を与えることなく定義できる。