線形代数I/教科書問/1.6 の履歴(No.19)
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問1.6†
の原点を通る平面状に2組の基底 をとる。
と表すとき、行列 は 逆行列を持つことを示せ。
回答†
与式を変形し、行列が逆行列を持たない場合、つまり のときに が線形従属となり、基底を為すとした仮定と矛盾することを導く。
(1) のとき、
となり、 のときこの式は
で、 が一次従属であることを示す。
(2) のとき、
さらに場合分けして、(2.1) のとき、
となる。
ここで と置くと、 より となって、
が導かれる。
(2.2) のとき、 となるが、 ゼロベクトルを含むベクトルの組は明らかに線形従属となる。
コメント†
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