線形代数II/基底の変換 の履歴(No.19)
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基底の変換†
異なる基底に対する表現†
に2つの基底
&math(A&:\Big\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big\}\\ B&:\Big\{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big\});
を取る。
の基底 に対する表現 は、
&math( \bm x&=1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\\ &=\bigg(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg) \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\\ &=\bigg(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\bigg) \bm x_A );
より、
である。同様に、 の基底 に対する表現 は、
である。
以下では、 と との間に成り立つ関係について考える。
基底の変換行列†
上の 次元線形空間 に2つの基底を取る
これらの基底に対するベクトル の表現 は、
(1) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}\bm x_{ A} );
(2) &math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}\bm x_{ B} );
の関係を満たす。図に表わせば、
および はともに 線形写像となるから、その合成写像 も線形写像である。
数ベクトルの線形写像は行列のかけ算で表せる†
一般に、数ベクトルから数ベクトルへの線形写像 は 行列のかけ算の形で表せる。
なぜなら、
とすると、 が線形写像であることから、
&math( T\bm x&=T\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i\bm e_i\Bigg)\\ &=\sum_{i=1}^n \hspace{3mm} x_i\hspace{-5mm}\underbrace{T\bm e_i}_{m次数ベクトル}\\ &=\underbrace{\Bigg( T\bm e_1\ T\bm e_2\ \dots\ T\bm e_n \Bigg)}_{m\times n行列} \bm x\\ &=A_T\bm x );
そここで、†
ある 次正方行列 を用いて、
(3)
と表せる。
このとき、 を 基底 から 基底 への基底の変換行列と呼ぶ。
変換の向き†
上記を良く読んで「変換の向きは逆じゃないの?」と思うのは正しい感覚。
どうしてこの向きかというと、
(2) に (3) を代入して、
&math( \bm x=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to A}\bm x_{ A} );
と (1) とを比べると、
(4) &math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2&\dots&\bm a_n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2&\dots&\bm b_n\end{pmatrix}P_{ B\to A} );
となり、 は基底 を基底 に変換する。
基底を変換するのと、数ベクトル表現を変換するのとを区別して覚えよう。
変換行列 $P_{ B\to A}$ の具体的な形†
上記の例であれば と置いて、
&math( \Big(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\Big) &= \Big(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big) \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\ &= \Big(a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ \ b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\Big)\\ );
すなわち、
&math( \begin{cases} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{cases} );
したがって、
上の例で言えば、
&math( \begin{pmatrix}1/2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1/2\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} );
であり、確かに成り立っている。
一般には†
と置けば、
&math( \bm x_A=\begin{pmatrix} 0\\[-2mm]\vdots\\[-1mm]0\\1\\0\\[-2mm]\vdots\\[-1mm]0 \end{pmatrix}\leftarrow k行目 );
に対して
であるが、 であるから、
すなわち、
となって、 は 基底 の基底ベクトルの基底 に対する表現を並べて作った行列となる。
上の例ならば、
となって、確かに正しい。
正則性†
当然、逆写像も線形写像であるから、
であり、
の関係がある。すなわち、基底の変換行列は正則行列である。
例†
に、2つの基底を取る。
&math( \bm a_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \bm a_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} );
&math( \bm b_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \bm b_2=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} );
を で展開すれば、
→
→
2つの式をまとめると、
&math( \begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm a_{1B}&\bm a_{2B}\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A} );
この表式を用いて、
&math( \bm x&=\begin{pmatrix}\bm a_1&\bm a_2\end{pmatrix}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix}\bm b_1&\bm b_2\end{pmatrix}\bm x_B\\ );
すなわち、
&math( \bm x_B=P_{B\to A}\bm x_A=\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}\bm x_A );
演習†
に2つの基底 &math(A=\Big\{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \Big\}); と &math(B=\Big\{ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \Big\}); を取る。
(1) から への変換行列 、 から への変換行列 を求めよ。
(2) に対応する を求めよ。
(3) に対応する を求めよ。
解答†
(1)
&math( \Bigg( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \Bigg) = \Bigg( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \Bigg)P_{A\to B} );
より、
&math(P_{A\to B}=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix});
また、
&math( \Bigg( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \Bigg) = \Bigg( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \Bigg)P_{B\to A} );
より、
&math(P_{B\to A}=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix});
あるいは、&math( P_{B\to A}=P_{A\to B}^{-1} ); から求めても良い。
(2)
&math(\bm x&= \Bigg( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \Bigg)\bm x_A= \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} );
&math(\bm x_B&=P_{B\to A}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
- 1\\
- 1\\ 3\\ \end{pmatrix} );
検算:
&math(\bm x&=\Bigg( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \Bigg)\bm x_B =\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} );
(3)
&math(\bm x&= \Bigg( \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \Bigg)\bm x_B= \begin{pmatrix}6\\4\\3\end{pmatrix} );
&math(\bm x_B&=P_{A\to B}\bm x_A\\ &=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix} );