線形代数I/実対称行列の対角化 の履歴(No.2)
更新培風館「教養の線形代数(五訂版)」に沿って行っている授業の授業ノート(の一部)です。
実対称行列の対角化†
実対称行列の固有値は必ず実数†
準備:
任意の複素ベクトル に対して、 は実数であり、 。等号は の時のみ成り立つ。
&math( \because \bm z=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}, \bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1\\\bar z_2\\\vdots\\\bar z_n\end{bmatrix}, {}^t\!\bar{\bm z}=\begin{bmatrix}\bar z_1&\bar z_2&\cdots&\bar z_n\end{bmatrix} );
&math( {}^t\!\bar{\bm z} \bm z&=\bar z_1 z_1 + \bar z_2 z_2 + \dots + \bar z_n z_n\\ &=\|z_1\|^2 + \|z_2\|^2 + \dots + \|z_n\|^2 \in \mathbb R\\ );
右辺は明らかに非負で、ゼロになるのは の時のみである。
証明:
の時、
&math( &\lambda\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z= {}^t\!\bar{\bm z} (\lambda\bm z)= {}^t\!\bar{\bm z} (A \bm z)= {}^t\!\bar{\bm z} A \bm z= {}^t\!\bar{\bm z}\, {}^t\!A \bm z= {}^t\!\bar{\bm z}\, {}^t\!\bar A \bm z=\\ &{}^t\!(\bar A\bar{\bm z}) \bm z= \overline{{}^t\!(A{\bm z})} \bm z= \overline{{}^t\!(\lambda{\bm z})} \bm z= \overline{(\lambda{}^t\!\bm z)} \bm z= \bar\lambda\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z );
&math( (\lambda-\bar\lambda)\,{}^t\!\bar{\bm z} \bm z=0 );
の時、 より、 を得る。
複素内積、エルミート行列†
実は、複素ベクトルを考える場合、内積の定義は ではなく、 を用いる。
そうすることで、 がノルムとして定義される。
このとき、 を満たすのは対称行列 ( ) ではなく、 エルミート行列 である。対称行列は実エルミート行列と言っても良い。
対称行列に限らず、エルミート行列はすべて固有値が実数となる。
対称行列では固有ベクトルも実数となる。
複素エルミート行列の場合、固有ベクトルは実数にはならない。
以下は実数の範囲のみを考える。
実対称行列では、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する†
かつ の時、
すなわち、
より、
を得る。
実対称行列の直交行列による対角化†
(1) 固有値がすべて異なる場合、固有ベクトルは自動的に直交するので、 大きさが1になるように選ぶことにより ( )、
は直交行列となり、この を用いて、
を対角行列にできる。
(2) 固有値に重複がある場合にも、
対称行列では、重複する固有値に属する1次独立な固有ベクトルを重複度分だけ見つけることが常に可能
(証明は (定理6.8) にあるが、ここでは省略)
それらをグラム・シュミットの直交化法により正規直交化し、他の固有ベクトルと合わせれば、 やはり直交行列 が得られる。
例†
まず固有値を求める
&math( |A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}2-\lambda&1&1\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}4-\lambda&4-\lambda&4-\lambda\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\hspace{1cm}\leftarrow\text{2,3行目を1行目に加えた}\\ &=(4-\lambda)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2-\lambda&1\\1&1&2-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(4-\lambda)\begin{vmatrix}1&0&0\\1&1-\lambda&0\\1&0&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(1-\lambda)^2(4-\lambda)\\ );
ただし は2重解。
I. の時、
&math( (A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ );
掃き出せない をパラメータ と置けば
したがって、
&math( \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix} );
II. の時、
&math( (A-\lambda I)\bm x&= \begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\ );
&math( &\begin{bmatrix}-2&1&1&0\\1&-2&1&0\\1&1&-2&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\-2&1&1&0\\1&1&-2&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&-3&3&0\\0&3&-3&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&-2&1&0\\0&1&-1&0\\0&1&-1&0\end{bmatrix}\\ &\sim \begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\\ );
掃き出せない をパラメータ と置けば
したがって、
&math( \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=s\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} );
が実対称行列であるため、
および が確認できる。
同じ固有値 に属する と とは直交しないので、これらをシュミットの 直交化法により直交させる。
&math(\bm f_2&=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}-\left(\bm e_1,\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\right)\bm e_1\\ &=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix});
したがって、
と置けば、 は直交行列となる。
念のため確かめてみると、
&math({}^t\!RR&=\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&0&1/\sqrt 2\\1/\sqrt 6&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 6\\1/\sqrt 3&1/\sqrt 3&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\0&-2/\sqrt 6&1/\sqrt 3\\1/\sqrt 2&1/\sqrt 6&1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1/2+1/2&-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&-1/\sqrt{6}+1/\sqrt{6}\\-1/\sqrt{12}+1/\sqrt{12}&1/6+4/6+1/6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}\\-1/\sqrt 6+1/\sqrt 6&1/\sqrt{18}-2/\sqrt{18}+1/\sqrt{18}&1/\sqrt 3+1/\sqrt 3+1/\sqrt 3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix});
で、直交行列の条件 を満たしていることが分かる。
この を使って、 は
の形に直交化される。
実対称行列の対角化の応用†
実数係数の2次形式を実対称行列で表す†
変数 の2次形式とは、
&math( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j );
の形の、2次の同次多項式である。
例:
の2次形式の一般形:
の2次形式の一般形:
の2次形式の一般形:
ここで一般に、
&math( \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j= \begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&&\vdots\\\vdots&&\ddots&\vdots\\a_{b1}&\cdots&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}={}^t\!\bm xA\bm x );
と表せることに注意しよう。
例:
しかも、例えば のように、 の値が変わらない限り、 と を変化させても 式の値は変化しない。したがって、任意の2次形式を すなわち対称行列 を用いて の形に表せることになる。
例:
&math( ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx= \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&d/2&f/2\\d/2&b&e/2\\f/2&e/2&c\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} );
2次形式の標準形†
上記の は実対称行列であるから、適当な直交行列 によって
のように対角化される。この式に および を掛ければ、
そこで、 を
となるように取れば、
&math( {}^t\!\bm xA\bm x={}^t\!(R\bm y)A(R\bm y)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2 );
のように、
&math( \begin{cases} x_1=r_{11}y_1+r_{12}y_2+\dots+r_{1n}y_n\\ x_2=r_{21}y_1+r_{22}y_2+\dots+r_{2n}y_n\\ \vdots\\ x_n=r_{n1}y_1+r_{n2}y_2+\dots+r_{nn}y_n\\ \end{cases} );
なる変数変換で、2次形式を平方完成できることが分かる。
&math( {}^t\!\bm xA\bm x=\lambda_1(r_{11}x_1^2+r_{12}x_1x_2+\dots)^2+\lambda_2(r_{21}x_2x_1+r_{22}x_2^2+\dots)^2+\dots+\lambda_n(r_{n1}x_nx_1+r_{n2}x_nx_2+)^2 );
このように平方完成した右辺を「2次形式の標準形」と呼ぶ。
2次形式の標準形に現れる係数は、 の固有値であることに注意せよ。
例†
を標準形に直せ:
この は、
により、
の形に対角化される。
したがって、
なる変数変換により、標準形
を得る。
正値・負値†
係数行列 のすべての固有値が であるとき、
であり、等号は 、すなわち 、 すなわち により の時のみ成り立つ。
このような2次形式を正値2次形式と呼ぶ。
逆に、すべての固有値が であるとき、 で、等号は の時のみ成り立つ。
このような2次形式を負値2次形式と呼ぶ。
- 係数行列の固有値を調べることにより、2次形式の正値性・負値性を判別できる。