広義固有空間の構造とジョルダン標準形 の履歴(No.2)

概要†

ジョルダン標準形とは、対角化できない行列を「準対角化」した形である。

ここは発展項目なので、線形代数IIの内容を先取りして使う。
実のところ、線形代数IIでも扱わない内容なので、線形代数IIを学んでから戻ってきても良い。

固有空間とその次元†

次正方行列 の、固有値 に対する固有空間 （固有ベクトルの集合が作る線形空間）は、

　

と表せる。

の重複度と同数の一次独立な固有ベクトルを見つけられることが を対角化できる必要条件だった。これは固有空間の次元が重複度と等しいことと同値である。 （重複度を超えることはない）

固有空間の次元は の解の自由度（パラメータの数）だから、

　

→ 解の自由度は掃出せなかった列の数に等しいこと、 掃出せた列の数が階数と等しいこと、を思い出せ。

対角化できない場合†

対角化できない場合には、 の重複度を とすれば、

　

となる が存在することになる。

広義固有空間†

三角化可能定理 において、 初めに を 解選ぶと、左上から 個の が並び、その後、他の固有値が並ぶ形に対角化ができる。

そこに ケーリーハミルトンの定理 と同じ操作を

　

に対して行えば、 の階数が となることが分かる。

すなわち、

　

であるが、

　

となるのである。

これは、

　

を に属する広義固有空間と定義すれば、 その次元がぴったり重複度と等しくなることを意味する。

例†

　&math(A=\begin{pmatrix}

4 & -2 & 0 \\
-3 & 4 & -2 \\
-11 & 9 & -2 \\

\end{pmatrix}

);

　&math(|A-\lambda I|= \begin{vmatrix}

4-\lambda & -2 & 0 \\
-3 & 4-\lambda & -2 \\
-11 & 9 & -2-\lambda \\

\end{vmatrix}= 8-12\lambda+6\lambda^2-\lambda^3=(2-\lambda)^3 );

　 （３重解）

　

　&math( \begin{pmatrix}

2 & -2 & 0 \\
-3 & 2 & -2 \\
-11 & 9 & -4 \\

\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & -2 & -4 \\

\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\

\end{pmatrix} );

掃出せなかった をパラメータとして、

　&math(\bm x=z\begin{pmatrix}

• 2\\-2\\1 \end{pmatrix});

３重解なのに だ。 基底として &math(\bm b_1=\begin{pmatrix}

• 2\\-2\\1 \end{pmatrix}); を取れる。

を求めるために

　

の拡大係数行列を変形して、

　&math( (A-\lambda I)\bm x=\bm b_1\\ \begin{pmatrix}

2 & -2 & 0 & -2\\
-3 & 2 & -2 & -2\\
-11 & 9 & -4 & 1\\

\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 & -1\\
0 & -1 & -2 & -5\\
0 & -2 & -4 & -10\\

\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 & 4\\
0 & 1 & 2 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0\\

\end{pmatrix} );

掃出せなかった をパラメータとして、