線形代数Ⅱ
上の線形空間
の任意の2つの元
の間に、
演算
が定義され、
となるものとする。
この演算が次の公理を満たすとき、内積と呼ばれる。
-
このとき、以下の性質も証明可能:
の時は
に対して
だから
1. と 3. より、
2. と 3. より、
4. より ノルム
を定義可能。
内積が定義された線形空間を計量線形空間という。
(ノルム によりベクトルの大きさを測れるようになったということ)
のとき、
すなわち、
と
は直交するという。
正規直交系†
が
- 正規性:
つまり
- 直交性:
つまり
(
)
を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、
とも書ける。
正規直交基底†
ある基底が正規直交系を為すとき、正規直交基底と呼ぶ。
内積の成分表示†
[Math Conversion Error]
を正規直交基底とし、
、
とすると、
&math(
(\bm x,\bm y)&=(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y)\\
&=\sum_{i=0}^n\overline x_i(\bm e_i, \sum_{j=0}^n y_j\bm e_j)\\
&=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\
&=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\
&=\sum_{i=0}^n\overline x_iy_i\\
&=(\bm x_{\widetilde E},\bm y_{\widetilde E})
);
を得る。
エルミート共役†
行列
に対して、
- 転置行列:
- 複素共役:
- エルミート共役:
とくに、列ベクトル
に対しては、
- 転置:
- 複素共役:
- エルミート共役:
エルミート共役は、次の性質を持つ。
対称行列、直交行列 と エルミート行列、ユニタリ行列†
が実行列のとき
である。
実行列・ベクトルについて | 複素行列・ベクトルについて |
対称行列 | エルミート行列 |
直交行列 | ユニタリ行列 |
性質:
- 対称行列
について
(実内積)
- エルミート行列
について
(複素内積)
性質:
- 直交行列
により内積が保存される
- ユニタリ行列
により複素内積が保存される
正規行列†
を満たす行列を正規行列と呼ぶ。
実対称行列、実直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列である。
ユニタリ行列で対角化できることと、正規行列であることとは同値であるが、
ここでは証明はしない。