固有値問題・固有空間・スペクトル分解 の履歴(No.2)

固有値問題†

　　ただし　 　　　（ ：固有値、 ：固有ベクトル）

もし が正則なら となってしまってダメなので、

　　

これは の 次方程式（固有方程式と呼ぶ） となるので、重複度を含めて 個の が求まる

それぞれの について、

に代入して について解くことで、

１コ以上、重複度コ以下の一次独立な固有ベクトル が求まる。

対角化†

すべての固有値に対してちょうど重複度コの一次独立な固有ベクトルが求まる場合には、 それらをすべて集めると コの一次独立な固有ベクトルが見つかる。

これらをまとめて書くと、

&math( A\underbrace{\Big(\bm x_1\ \bm x_2\ \dots\ \bm x_n\Big)}_P &=\Big(\lambda_1\bm x_1\ \lambda_2\bm x_2\ \dots\ \lambda_n\bm x_n\Big)\\ &=\underbrace{\Big(\bm x_1\ \bm x_2\ \dots\ \bm x_n\Big)}_P \underbrace{\begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{pmatrix}}_\Lambda );

の列ベクトルが一次独立であることから は正則で、

として、正則行列 により を対角化可能。

対称行列の場合†

• 固有値 はすべて実数
• 直交行列 により対角化可能

１年生の時に証明した。