復習:ベクトルと図形 の履歴(No.2)
更新内容†
- ベクトルに対応する点、点に対応するベクトル、ベクトルの長さ
- 内積と2つのベクトルのなす角
- ベクトルで表す直線や平面
- ベクトルの回転・反転を表す行列
演習†
(1)
平面上の三角形 の2辺が 、 で与えられるとき、 辺 の長さ、および を求めよ。
(2)
空間内において、 2点 &math(\mathrm A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\ \mathrm B=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}); を通る直線、および、 点 を通り、直線 に垂直な平面を、ベクトルを用いたパラメータ表示で表せ。
(3)
空間内において、 方向の単位ベクトルを、 軸を回転軸として 軸方向に 回転し、さらに、 軸を回転軸として 軸方向から 軸方向へ 回転した後、 倍して得られるベクトルを答えよ。
解答および解説†
(1)
(2)
直線は、
&math( \bm p&=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}\\ &=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s (\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\bigg (\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\bigg)\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s'\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\ );
ただし、 は任意の実数パラメータ。
一方、平面を表すには と垂直な2つのベクトル、例えば
&math( \bm a=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \bm b=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} );
を用いて、
&math( \bm p=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\bm a+u\bm b\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
- t\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}
- u\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} );
とすればよい。
(3)
2次元で考えた場合、 平面上で 軸方向から 軸方向へ反時計回りに 回転する操作に対応する行列は &math( \begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{pmatrix} ); であった。
この操作により、 が へ、 が へ、 それぞれ正しく移されることに注意せよ。
3次元空間で考えれば、同様の操作を表す行列は、 &math( \begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} ); となる。
同様に、 平面上で 軸方向から 軸方向へ 回転する操作に対応する行列は、 &math(\begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&0&0\\
- \sin\theta&0&\cos\theta \end{pmatrix}); となる。
この操作により、 が へ、 が へ、 それぞれ正しく移されることに注意せよ。
方向の単位ベクトル に これらの操作を続けて行い、最後に 倍した結果は、
&math( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}&=r\begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&1&0\\
- \sin\theta&0&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\ &=r\begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta\\0\\\cos\theta \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} r\cos\phi\sin\theta\\ r\sin\phi\sin\theta\\ \cos\theta\\ \end{pmatrix} );