球座標を用いた変数分離/メモ の履歴(No.2)
更新解答:時間に依存しないシュレーディンガー方程式の極座標 変数分離†
(1)
&math( \frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}(r\varphi) &=\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{1}{r}\frac{\PD}{\PD r}\left(r\frac{\PD}{\PD r}\varphi\right)\\ &=\frac{2}{r}\frac{\PD}{\PD r}\varphi+\frac{\PD^2}{\PD r^2}\varphi\\ );
(2)
&math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi) );
より、
&math( \left\{
- \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\right)+ V(r)\right\}\varphi(r,\theta,\phi)=\varepsilon\varphi(r,\theta,\phi) );
(3)
を代入すれば、
&math( &\Big(r\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\hat\Lambda\Big)R(r)Y(\theta,\phi)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)Y(\theta,\phi)=0\\ );
&math( &\left\{r\frac{\PD^2}{\PD r^2}rR(r)\right\}\frac{1}{R(r)}+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)=-\frac{\hat\Lambda Y(\theta,\phi)}{Y(\theta,\phi)}\\ &=l(l+1)\\ );
一行目の左辺は のみの関数、右辺は のみの関数であるから、 これらは定数でなければならない。 その定数を後を見越して と置いた。
について、
&math( &r\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}r^2\Big(\varepsilon-V(r)\Big)R(r)=l(l+1)R(r)\\ &\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\frac{2m}{\hbar^2}\Big(\varepsilon-V(r)\Big)rR(r)=\frac{l(l+1)}{r^2}rR(r)\\ &-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d r^2}rR(r)+\left\{V(r)+\frac{\hbar^2l(l+1)}{2mr^2}\right\}rR(r)=\varepsilon\,rR(r)\\ );
について、
&math( \hat\Lambda Y(\theta,\phi)+l(l+1)Y(\theta,\phi)=0 );
(4) より、
は には作用しないので、
すなわち、
(5) より
より
ただし原点におけるポテンシャルをゼロとした。 を使って書き直せば、
一方、(3) で得た方程式に現れる項は、 に対して より、
と書ける。
が一定となる条件を忘れて をそのまま積分すると 符号が変わり となってしまうため注意せよ。
(6)
&math( &\left\{\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right\} \Theta(\theta)\Phi(\phi)=-l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\\ &\left[\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta\right\}\Theta(\theta)\right]\frac{1}{\Theta(\theta)} =\left\{-\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\Phi(\phi)\right\}\frac{1}{\Phi(\phi)}\\ &=m^2 );
2行目の左辺は だけの、右辺は だけの関数であるため、 定数 と置いた。
について、
&math(\left\{\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+ l(l+1)\sin^2\theta-m^2\right\}\Theta(\theta)=0);
について、
(7) (6) より、
一方、 より、
また、 は には作用しないため、