電磁気学/Gauss の定理 の履歴(No.2)

基本†

任意の滑らかなベクトル場 に対して、その閉曲面 からの発散を考える。

この値が次の２つの性質を持つことが基本となる。

1. 微小領域からの発散は体積に比例する
2. 全体の発散は微小領域の発散を積算することで求められる

微小量域の発散は体積に比例する†

に存在する を辺とする微小な直方体領域に、 軸方向の電場 が存在する状況を考える。

それぞれの面から外へ出る発散量を考えると、 方向、 方向の 電場成分はゼロだから、

&math( &\int \bm E\cdot\bm n dS\\ &=\bm e_x\cdot \bm E(x+dx,y,z) dy\,dz - \bm e_x\cdot \bm E(x,y,z) dy\,dz \\ &+\bm e_y\cdot \bm E(x,y+dy,z) dz\,dx - \bm e_y\cdot \bm E(x,y,z) dz\,dx \\ &+\bm e_z\cdot \bm E(x,y,z+dz) dx\,dy - \bm e_z\cdot \bm E(x,y,z) dx\,dy \\ &=\{E_x(x+dx,y,z)-E_x(x,y,z)\}dy\,dz\\ &=\frac{\PD E_x}{\PD x}dx\,dy\,dz\\ &\prop dx\,dy\,dz );

すなわち、

• が に比例する
• 面積が に比例する

が合わさって、全体として「体積」に比例することになる。

任意軸方向の電場が存在する時は

&math( \int \bm E\cdot\bm n dS =\Big\{\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}\Big\}dx\,dy\,dz );

となり、この「比例係数」を と書く。

&math( \DIV\bm E=\frac{\PD E_x}{\PD x}+\frac{\PD E_y}{\PD y}+\frac{\PD E_z}{\PD z}=\bm\nabla\cdot\bm E );

全体の発散は微小量域の発散を積算することで求められる†