線形独立、基底及び次元 の履歴(No.3)

準備†

定理：

を の基底とすれば、 はこれらの一次結合として一意に表される。

証明：

とすると、

基底の線形独立性から、

となる。

数ベクトル空間との１対１対応†

上記の線形結合を、ベクトルのかけ算表示を使って

&math( \bm x=\big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\big) \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix} );

の形に書けば、

に対して、対応する &math(\bm x'=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix} \in \mathbb R^n ); が１つ決まる。

逆に、 に対して、 &math( \bm x=\big(\bm v_1\ \bm v_2\ \dots\ \bm v_n\big)\bm x' \in V ); が１つ決まることから、

線形空間 の元と の元との間に１対１の対応が付くことになる。

を の列ベクトル表示という。

上記の対応関係は ベクトル和 や スカラー倍 に対しても保存されることから、 任意の線形空間 は、同じ次元を持つ数ベクトル空間 と強い類似性を持つことが分かる。

こういう時、 と は「同型である」、と言う。

以下で同型を定義する。

線形写像†

を線形空間として、 が次の条件を満たすとき、 は「線形である」と言うのであった。

すなわち、写像がベクトル和やスカラー倍に対して透過的であると言うこと。

あるいは、 として、

のように括弧を省略して書くこともよく行われる。

注）
左辺の和やスカラー倍が で定義された演算であるのに対して、
右辺の和やスカラー倍は で定義された演算であることに注意せよ。
（すなわち と は同じスカラーの上に定義されている必要がある）

例： 、 として、 を

と定義すれば、これは線形写像になる。
（関数線形空間に対して微分や積分を線形写像と考えるのはこれから非常に良く出てくる考え方）

１対１写像（単写）†

も の線形写像である、 が、 となる。

このように、一般の写像では異なるベクトルが同じ値に移される場合がある。

であれば必ず であるとき、 は１対１写像である、あるいは、単写である、と言う。

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１対１という言葉の意味：１対ｎはそもそも写像にならない。ｎ対１になっていないことを示している。

上への写像（全写）†

任意の に対して、そこに移ってくる の元を見つけられる時、 上への写像、あるいは、全写であるという。

例えば、 は への全写であるが、
は への全写ではない。

「上へ」というのは、 により 全体を移したときにできる「像」 (しばしば と書かれる) が、 の真上に、全体を覆い尽くすように被さるため。

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上への１対１写像（全単写）†

単写かつ全写であることを言う。

このときに限り、「逆写像 」が定義できる。

• １対１でないと、ある に複数の が対応してしまう
• 上への写像でないと、ある に対応する が存在しない場合がある

同型†

と との間に上への１対１写像 が存在する時、 と は同型であるといい、
と書く。

またこのとき、 を同型写像と呼ぶ。

これは上で述べた２つの写像が「似ている」ことを数学的に表わした物。
同型写像によって、２つの空間はすべて１対１に対応することになる。

とか、
とかも同型写像になる。 同型である２つの線形空間の間の同型写像は一意には決まらないことに注意が必要。

線形空間の「同型」は同値関係の公理を満たす。すなわち、

1. 　　　：　反射律
2. 　：　対称律
3. ：　推移律

同型の線形空間は構造が似ているため、一方を調べればもう一方のことが分かる。
特に、 への同型が分かればほぼすべて分かったも同然！となる。

例†

の同型写像を とする。

が線形独立であれば、
[Math Conversion Error]

対偶を証明する。

もし [Math Conversion Error]

[Math Conversion Error]

が成立する。 は線形なので、

[Math Conversion Error]

ここで、